Arkusz maturalny (6)

I. Elementy szczególnej teorii względności

Zadania

1.    Względność długości i prędkości

Wielkość do wykorzystania w rozwiązaniach:

szybkość światła c - 3 •

-£r 1-1- Poruszającym się układem O'jest pręt równoległy do osi x. Wyprowadź wzór na zależność długości pręta od jego szybkości v' względem nieruchomego obserwatora O.

1.2.    Z jaką szybkością powinien się poruszać pręt w kierunku swojej długości, by nieruchomy obserwator określił jego długość jako dwukrotnie mniejszą, niż określił wtedy, gdy pręt spoczywał?

1.3.    Przy jakiej szybkości względne skrócenie długości ciała wynosi 25%?

1.4.    Poruszające się z bardzo dużą szybkością ciało ma we własnym układzie odniesienia kształt sześcianu. Porusza się ono w kierunku równoległym do swojej krawędzi. Jaki kształt tego ciała zauważy obserwator znajdujący się w innym inercjalnym układzie odniesienia? Jaki obserwowałby kształt ciała, jeśli ciało to we własnym układzie odniesienia byłoby kulą?

1.5.    Dwa protony poruszają się w przeciwne strony z tymi samymi szybkościami równymi 0,95 c. Oblicz szybkość jednego z protonów względem drugiego. Wynik porównaj z wynikiem uzyskanym według rozwiązania zgodnego z zasadami mechaniki klasycznej.

1.6.    Dwa fotony światła wysłano równocześnie w przeciwne strony. Oblicz szybkość jednego fotonu względem drugiego.

2.    Dylatacja czasu

Wielkość do wykorzystania w rozwiązaniach:

szybkość światła c = 3 ■ 10⁸-^-.

# 2.1. Załóżmy, że w przestrzeni międzygwiazdowej przemieszcza się statek kosmiczny <«■ z szybkością v' = 0,9998 c. W jakim odstępie czasu, według nieruchomego obserwatora O, statek ten przebędzie drogę 4,3 ly (4,3 ly wynosi także odległość od Ziemi do najbliższej gwiazdy poza Słońcem - Proxima Centauri)?

2.2. Pewni bliźniacy A i B mają jednakowe zsynchronizowane ze sobą zegary. Bliźniak B wyrusza w podróż kosmiczną, zabierając ze sobą swój zegar. Jego statek kosmiczny rozpędza się w przestrzeni międzygwiazdowej do bardzo dużej szybkości i z taką stałą szybkością przez pewien czas trwa podróż. Później statek zmienia kierunek ruchu i powraca na Ziemię. Ponieważ przez długi czas podróż odbywała się z szybkością „podświetlną”, więc w statku kosmicznym zegar chodził wolniej. Bliźniak B, spotykając się z bratem A, powinien być od niego znacznie młodszy. Czy tak będzie? Skorzystaj z rozwiązania zadania 2.1.

☆    2.3. * Mezony n uzyskuje się w akceleratorach w wyniku reakcji jądrowych. Własny tak zwany

czas życia mezonu k wynosi około 2,6 • 1CT⁸ s. Mezony uzyskane w akceleratorze mają szybkość około 0,99 c. Jaką drogę przebędzie taki mezon do momentu rozpadu?

☆    2.4. Na skutek oddziaływania promieni kosmicznych z atmosferą Ziemi powstają między

innymi miony ju. Własny czas życia takiego mionu wynosi 2,2 • 10^-6 s. Jaką drogę przebędzie ku powierzchni Ziemi ten mion do momentu rozpadu? Jaką drogę przebyłby, gdyby nie było dylatacji? Szybkość mionu wynosi 0,99 c.

☆ 2.5. Na Ziemi zaszły równocześnie dwa zdarzenia w punktach odległych od siebie

Jl

o / = 1000 km. Czy w inercjalnym układzie poruszającym się z szybkością v' - — c te

zdarzenia będą zarejestrowane jako równoczesne? Ziemię potraktuj jako układ inercjalny. Odpowiedź uzasadnij obliczeniem.

☆ 2.6. Na Ziemi zaszły dwa zdarzenia. Pierwszym był start sprintera w biegu na 100 m, a drugim osiągnięcie mety. W chwilach, gdy zaszły oba te zdarzenia wysłano impulsy elektromagnetyczne w przestrzeń międzygwiezdną. Sygnały te odebrano w inercjalnym

fi

układzie poruszającym się z szybkością v' = — c względem Ziemi. Jaki wynik biegu zanotuje obserwator ruchomy, jeśli na stadionie zegar wskazał 10,00 s?

3. Masa i energia

Wielkości do wykorzystania w rozwiązaniach: szybkość światła c= 3 • lO⁸-^-,

masa elektronu m₀= 9,11 ■ 10“³¹ kg,

stała Plancka h - 6,62 • 10'³⁴ Js,

masa spoczynkowa protonu m - 1,67 10~²⁷ kg.

☆    3.1. Do jakiej szybkości powinien być rozpędzony elektron, aby jego masa była dwukrot

nie większa od jego masy spoczynkowej?

☆    3.2. Wykonaj wykres ukazujący, jak zmienia się masa ciała w zależności od jego szybkości.

☆    3.3. Proton rozpędzony jest do szybkości v' = — c. O ile procent wzrosła jego masa z po

wodu ruchu?

☆ 3.4.

fi

Ciało w kształcie walca o długości spoczynkowej /₀ ma prędkość o wartości v' - ~ c

w kierunku x wzdłuż swojej osi. He razy gęstość ciała poruszającego się jest większa od gęstości ciała spoczywającego?

☆ 3.5. Z jaką szybkością powinno się poruszać ciało wykonane z aluminium, by miało gęstość żelaza? Brakujące dane wypisz z tablic.