CCF20091202035

A    A

Prócz całkowitej liczby przypadków potrzebujemy wyrażeń £ X_t i £ Xf.

/= i    (=1

Obie te sumy można bardzo łatwo otrzymać przy pomocy kalkulatora. Obliczamy s ze wzoru (6.7):

5 = 1/5 1/5(27 151)- (365)^a = 1/5 ^135 755 - 133 225 = 10,06

Obliczyliśmy tu ten sam problem, by wykazać, że wzory obliczeniowe prowadzą do tych samych wyników, co definicyjny wzór (6.3). Ponieważ X jest tu liczbą całkowitą, wzór obliczeniowy wymaga więcej pracy, niż definicyjny. Zwykle, oczywiście, zdarza się sytuacja odwrotna.

Obliczanie odchylenia standardowego z danych pogrupowanych. Gdy dane są pogrupowane, obliczenia bardzo się redukują, gdyż traktujemy każdy pomiar jako znajdujący się w środku przedziału klasowego oraz wykorzystujemy średnią odgadniętą. W ten sposób wprowadzamy, oczywiście, pewne niedokładności, lecz korzyść na czasie jest znaczna. Zgodnie z przyjętą powszechnie konwencją, oznaczmy x, — X_t—X. Małe litery x oznaczają więc odchylenia pomiarów od średniej i wzór definicyjny na odchylenie standardowe przybiera postać:

I 14

-T

Zmodyfikujemy teraz ten wzór uwzględniając, że będziemy mieli do czynienia ze znacznymi liczbami takich samych pomiarów, o wartościach równych środkom przedziałów. Mnożąc kwadrat odchylenia środka danego przedziału przez liczbę pomiarów z tego przedziału otrzymujemy sumę kwadratów odchyleń dla tego przedziału. Wzór na odchylenie standardowe przybiera więc postać:

s =

(6.8)

gdzie f- jest liczbą przypadków w i-tym przedziale, a k — liczbą przedziałów.

Przypuśćmy, że odgadujemy wartość średniej i obliczamy odchylenia od tej wartości, a nie od średniej prawdziwej. W poprzednim rozdziale wykazaliśmy, że suma kwadratów odchyleń od średniej jest mniejsza niż suma kwadratów odchyleń od jakiejkolwiek innej liczby. W szczególności, suma kwadratów odchyleń od średniej odgadniętej będzie większa od sumy kwadratów odchyleń od średniej prawdziwej, chyba że akurat obie te średnic będą sobie równe. Można też pokazać, że sumy kwadratów są sobie tym bliższe, im bliżej średniej prawdziwej leży średnia odgadnięta. Innymi słowy, stosując średnią odgadniętą otrzymujemy zawyżoną wartość odchylenia standardowego. Dlatego posługujemy się poprawką, którą odejmujemy od liczby otrzymanej przy pomocy średniej odgadniętej. Wzór na odchylenie standardowe przybiera postać

(6.9)

gdzie d_t oznacza różnice między każdym pomiarem a średnią odgadniętą, są więc analogiczne do wielkości x_t w równaniu (6.8).

Zanim przejdziemy do przykładu liczbowego przeanalizujmy jeszcze dokładniej wzór (6.9). Drugi składnik pod pierwiastkiem jest poprawką, którą odejmujemy od średniego kwadratu odchylenia od średniej odgadniętej. Pamiętając wzór (5.4) na średnią obliczaną przy pomocy średniej odgadniętej, tj.

I Mi

N

X = X'+ '-¹

widzimy, że

i Mi

N

'-¹    =X~X'

a więc

' k \ 2

Z Mi\

'Vy

Tak więc poprawka okazuje się kwadratem różnicy między średnią prawdziwą i odgadniętą. Widzimy, że gdybyśmy odgadli średnią prawidłowo, poprawka byłaby równa zeru. Ponadto im większa różnica między średnią prawdziwą i odgadniętą, tym większa poprawka, lin gorzej odgadniemy

i

87