DSC00188

Egzamin pisemny z rachunku prawdopodobieństwa - 2013, grupa Zadanie 1

Zosia i Artur umawiają się w kawiarni pomiędzy 21°° i 22°°. Przychodzą na spotkanie niezależnie od siebie i losowo (z rozkładem jednostajnym). Ponadto Zosia nie czeka na Artura dłużej niżeli 6 minut a Artur nie czeka dłużej niżeli 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że do spotkania dojdzie?

Zadanie 2

Dystrybuanta zmiennej losowej X podana jest formułą

F_x(x) =

0

0.2 + 0.1® - 0.05®² 0.4 + O.Ole*

1

dla x < 0, dla 0 < x < 1, dla 1 < x < 2, dla 2 < ®.

Naszkicuj dystrybuantę. Oblicz wartość oczekiwaną E(X) = f_ ™ xdFx(x). Oblicz E₀(X) = fo°(1—Fx(x))dx. Czy obydwa rachunki dają ten sam wynik? Czy zmienna losowa X jest absolutnie ciągła? Jeżeli tak, to znajdź jej gęstość.

Zadanie 3

Niech X będzie nieujemną zmienną losową o gęstości Jx- Znajdź rozkład (gęstość) zmiennej losowej Z = /^»y.

Zadanie 4

Zdefiniuj rozkłady:    [a] Poissona i [b] wykładniczy. Znajdź funkcję

charakterystyczną [a] zmiennej losowej X o rozkładzie geometrycznym i [b] zmiennej losowej W o rozkładzie wykładniczym.

Zadanie 5

Prawdopodobieństwo zepsucia się elementu w ciągu określonego czasu T jest równe 0.05. Jak duża powinna być początkowa liczba (sprawnych) elementów, aby z prawdopodobieństwem 0.99, co najmniej 100 spośród nich było sprawnych w momencie T?

Uwaga: Zepsute elementy nie podlegają wymianie na sprawne.