scan7

Zad.27.    _;    (

Znajdź granicę a_n = V3w² + 10 - V3n² +1

Rozwiązanie:

_^L_    /

lim O/3n²+10 - V3«²+1)=(oo-oo} =

₌ ,.    (V3/z²+10 - V3/P+I) ■ (V3^TlÓ + ^3^+1)

V3n² + 10 + V3n²+1

(J-i-l. ińV    skorzy siaiismy ze wzoru

= u ⁽T ^1Q) ~V^{3    1}}    = Skróconego mnożenia

— V3TOÓ₊V3^TT    (a-b)(a + b) = a²-b²

= lim ?ⁿ    * ^=- = korzystamy z faktu, że (Va)² = a

»^^L V3«²+10 + V3^+l

,    3/i² -ł-10 — 3/z² — 1    j , .

V3«²+10 + V3n² + 1

,9

= lim i„ ,    -u ⁼ redukujemy wyrazy podobne

— lim

V3«²+10 + V3/J²+l i    i

= 1—1 = 0

Odp. lim O_n — 0

Zad.28.    _    _

Znajdź granicę a_n= V2n (V3« + 2 -V3n)

Rozwiązanie:

W rozwiązaniu zastosujemy technikę poznaną wcześniej, tzn. rozszerzenie wyrażenia tak, aby pojawił się wzór skróconego mnożenia. Rozszerzamy wyrażenie w nawiasie.

hm ■ (V3n + 2 - V3n) = { «> - oo } = i    i    i

= lim V2«"• ^^{w +} 2 -V3^)(V3n+2 +V3n) _ *■*“    V3n+2 +V3n"

_ , u—-7T,2 .IX-.2    korzystamy ze wzoru

korzystamy ze wzoru (a - b) (a + b) = a¹ - b²

i z faktu, że-(V*T)² = a

=    (o-&)(<, + »-a²-d^!

" “    y3n+2 + y3n

V3/z+2 + V3n

= lim V2n" 3-1+2-3n

— lim V2aT-

— lim

2-V2ń

=1^1=

V3n+2 + V3«    V3«+2 + V3/T ⁰⁰

— lim

oo V3w-r2 i V3w

— lim

2-V2

“ « n “ n

^2<2 n J

= lim

zauwaz, ze mimo wcześniejszego przekształcenia pojawił się symbol nieoznaczony    dlatego

należy licznik i mianownik tego ułamka podzielić przez najwyższą potęgę mianownika

korzystamy ze wzoru ^ = *\p^

i skracamy

2-V2

^3+7 ⁺a/3

+ i    A

V3 0    V3

, 2<2 , _ 2<2_ <2 nr

V3 + V3 ~ 2V3 V3 V 3

Odp. lim a_n = ^ff

Zad.29.

Znajdź granicę a_n=ylln² (V2n²+3 -V2n²+1) Rozwiązanie:

lim V7n²(V2n² + 3 - V2n²+1)= |    ~ I =

77