scan6

Zad.24.

Znajdź granicę

a=J K»³+\ " V n² + l

Rozwiązanie:    ₂

Najpierw znajdujemy granicę ^{+ 1} a potem pierwiastek

n +7

znalezionej wartości.

1.    16«²+ 1^ i ⁰⁰ j _ 1.    ¹⁶n^,2^!+n¹2    ¹⁶⁺„¹2    .

lim 2 , n “ 1 ©o I ” lip Z2 7 — lim :    ;    — i ~r" t ^— lt>

li    »²    »²    i    «²

“7    1 A

1    0

Vl6 = 4

Teraz znajdujemy pierwiastek 16 Odp. lim = 4

Zad.25.

Znajdź granicę

icę =

1 - 27n 8n² + 1

Rozwiązanie:

\-21n

Najpierw znajdujemy granicę *    " a potem trzeci

072" + 1

pierwiastek znalezionej wartości

1 27 n²

/° z¹¹

-L_27 <n ~-)śl"fi^2TY = < 17) = „UsL ii ₊'l⁼Mo " g ₊_L ^=,_8^{_, = _}Y

8n² + l i i

00    i

1 i

8 O

27

Teraz znajdujemy pierwiastek trzeciego stopnia liczby ——

.    o

³¹ 27    3

<J

8

Odp. Iiję. a_n = ——

Znajdź granicę a_n =    + 10 - 'In

Rozwiązanie:

W zadaniu tym należy posłużyć się bardzo użyteczną techniką rozszerzania wyrażenia i wzorem skróconego mnożenia. Bierze się to stąd, że pojawia się tutaj nowy symbol nieoznaczony |oo-oo}.

lim (Vn + 10 - Vn) = {oo - 00} =

io i

('In + 10 - Vw) (Vn + 10 + Vn) , (Vw + 10)² - (Vn)² ”^_"⁰“    Vn+10 + VżT    V«+10 + 'In

zauważ, że korzystamy ze wzoru (a~b)(a + b) = a¹ - b²

.10

= lim

rt —►»

n + 10 - «

10

V«+10 + Sn

Vw+10 + V/T ⁰⁰

I i

= ł#) = 0

10

Zauważ, że mianownik ułamka —,    —^=- jest coraz

Vw+IÓ + VT ^

większy (bo « wzrasta nieograniczenie), licznik się nie zmienia, zatem cały ułamek dąży do zera.

Końcówkę zadania można rozwiązać jeszcze inaczej.

lim

n —►ao

10

+10 + 'In "

-Jisi

JT__

= lim

n -+-OD

_UL

Vn+10 _i_ V/T    n —*oc

it⁺t

= lim

n —►00

\n_

Ąi = o

Odp. lig^ a_n - 0

75