TOB03

Rozwiązanie. Wyznaczymy warunki początkowe. Przed zamknięciem wyłącznika:

—    impedancja zespolona

Z = R_{1 +} R₂ + j^coL —    = 10 + j^lO-2 — ^ jój = (10 + jlO)Q

—    wartość skuteczna zespolona napięcia źródła

E = 10e^j90° V

—    wartość skuteczna zespolona prądu

—    wartość skuteczna zespolona napięcia na kondensatorze

-^{c =} ( ~^j ~^c)^{1 =} ~^j10(0’^{5 + j0}’⁵⁾ = ⁵ - j⁵ = 5 y/2 e- *⁵° V

—    wartość chwilowa prądu

i_L =    sin(10t + 45°) = sin(10t + 45°) A

— wartość chwilowa napięcia na kondensatorze

w_c = 5 • y/2 • y/2 sin(10t - 45°) = 10 sin(10t - 45°) V Stan początkowy obwodu (w chwili t = 0)

*_Ł(0-) = i_L(0⁺) = sin45° = ^A «c(0") = u_c(0⁺) = 10sin(—45°) = - ¹⁰ ''P' = -5 V

Po zamknięciu wyłącznika W powstają dwa obwody: obwód szeregowy R_u L zasilany ze źródła napięcia sinusoidalnie zmiennego oraz obwód szeregowy R₂, C znajdujący się w stanie zwarcia. W obu obwodach warunki początkowe są niezerowe.

Rozwiązujemy obwód szeregowy R_u L

_D •    , r ^diL

^RilL+L~dt ~^e

Składową przejściową prądu i_Lp obliczamy z równania jednorodnego Ri Il_p +    stąd i_Lp = Ke ^{L 1} = Ke~^2,5t

i_Lu = —77— sin(10t + 90° — <pi) = —^£^^=sin(10t + 90° — 76°) =

^zi    y/5² + 20²

= 0,686 sin(10t + 14°) A

Składowa ustalona w chwili t = 0

Jlu(0^-) = i_Lu(0⁺) = 0,686 sin 14° = 0,166 A

Prąd w gałęzi R_u L jest równy sumie składowej ustalonej i składowej przejściowej:

— w dowolnej chwili t > 0

k ~ ku + kp

— w chwili t = 0⁺

A

2

k(0⁺) = i’l«(0⁺) + i_Lp( 0⁺)

= 0,166 + K, stąd K = 0,54

Ostatecznie

i_L= (0,686 sin(10t + 14°) + 0,54 e"²-⁵') A Rozwiązujemy obwód szeregowy R₂, C

Uc + R₂C^ = 0 dt

Wobec braku źródła zewnętrznego, składowa ustalona prądu kondensatora jest równa zeru. Stan nieustalony określa składowa przejściowa u_Cp = u_c. Zatem

u_c = K{e~ ^c — Ki e~^20t

w chwili t = 0

«c(0-) = Mc(0⁺) = -572 = Ki

Ostatecznie

u_c=-5^2e~^20tV

5.4. W obwodzie jak na rys. 5.4 w chwili t = 0 łącznik W przełączono z pozycji 1 w pozycję 2. Obliczyć największą wartość, jaką może osiągnąć napięcie u_L na cewce. Dane: R = 4Q;R₁ = 6Q;L=5H;£ = 100V.