Układy równań liniowych
2

114

Układy równań liniowych

zatem

y =    5 - 3x - 17z - 5u

s = — 1 - 3x + Oz — 2u , t = 2 — x — 6 z — u

gdzie x, z, u 6

• Przykład 4.17

Dla jakich wartości parametru p podany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie

x + p²y + z = p

y -pz= p² ?

x +

y + z= 1

Określić liczbę rozwiązań tego układu w pozostałych przypadkach.

Rozwiązanie

Jeżeli dany układ jest układem Cramera, to ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dzieje się tak, o ile

1 P² 1 0

1

1    -p

1 1

= (1 +P) ~ (p² ~ l) = (1 +p)(2 -p) A 0,

tzn. dla p € R \ {—1,2} . Przypadki p = — 1 oraz p — 2 przeanalizujemy rozwiązując odpowiedni układ równań metodą eliminacji Gaussa - Jordana. Dla p = — 1 mamy

' 1	1	1	1 '		1	1	1	1		' 1 0	0	0 '
1 . 0	1 1	1 1	1 1 .		0	1	1	1		0 1	1	]

zatem x = 0, y = 1 — z, z 6 R, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dla p — 2 otrzymujemy

2 ’		' 1	4	1	2 ‘
6	-f —*	0	0	0	9
1 .		. 0	1	1	1

' 1	4	1	-2 '	r
1 . 0	1 1	-2 1	4 1	h'	i i-

1    4    1

0    -3    -3

0 1 1

W tym przypadku układ nie posiada rozwiązań, bowiem odczytując drugi wiersz ostatniej macierzy w jawnej postaci 0-a:-)-0-j/ + 0- zs = 9 uzyskaliśmy warunek sprzeczny.

Przykład 4.18

	zł	B	C	D
a	1	2	1	1
b	2	1	1	2
c	2	1	3	4

W wytwórni montuje się cztery wyroby A, B, C. D z trzech typów detali a, b, c. Wyroby A, B, C, D ważą odpowiednio 60 g, 60 g, 70g, 90 g. Obliczyć, ile ważą poszczególe detale, jeżeli ich liczba w produkowanych wyrobach podana jest w tabeli:

Rozwiązanie

Niech x, y, z oznaczają odpowiednio wagi w graniach detali (1,6, c. Dane, którymi dysponujemy w tym zadaniu prowadzą do układu równań

a    +    26    -i-    2c    —    60

2a    +    6    +    c    =    60

a    +    6    +    3c    =    70

a    +    26    +    4c    =    90

Wyznaczenie wag poszczególnych detali będzie możliwe, gdy rozważany układ równań będzie miał jednoznaczne rozwiązanie. Stosując metodę eliminacji Gaussa - Jordana

otrzymamy

■ 1	2	2	60'			' i	2	2	60'
2	1	1	60		- 2u'i	0	-3	-3	-60
1	1	3	70	w,<	-    u:i —> -    Wl	0	-1	1	10
_ 1	2	4	90			.0	0	2	30.
						' 1	2	2	60'
						0	0	-6	-90
						0	-1	1	10
						0	0	2	30

"3-

■ ^2'^ W.J. ' tf₃ ■(■•!)

.2 ‘

	'12 2 0 1 -1	60' -10		'10 0 0 1 0	20' 5
	.0 0 1	15.		.0 0 1	15.

Zatem detal a waży 20 g, detal 6 waży 5 g, a detal c 15 g.

Zadania

Odp. str. 204

4.1

Dla jakich wartości parametru p G R podane układy równań są układami Cramera:

^a)

(p + i)x - py = l 2x + (p - 1 )y = 3p

2px + 4y - pz — 4 b) <|    2x + y + pz = 1 ;

(4 + 2 p)x + 6y + pz — 3

^c)

^d)

px + 3y + pz — 0 -px + 2z = 3 ; x + 2y + pz = p

4.2

x — y — z — t = px -x + y- z- t = py_rj -x — y + z - t = pz ' -x - y — z + t = pt

^a)

Korzystając ze wzoru Cramera znaleźć rozwiązania podanych układów równań:

j .ffll i|H!HWIW"i'TnT'i.....