Wyklad (2)

2

Auf der linken Seite von (3) steht nur die abhangige Variable I und ihr Differenzial und rechts nur das Differenzial dt der unabhangigen Variablen t. Es wurde also die Trennung der Variablen (TdV) (rozdielnie zmiennzch) durchgefuhrt. Durch beidseitige Integration von (3)

2

1

RC

dt

gelangt man zu einer Gleichung in der die Integrationskonstate mit K' bezeichnet wurde, damit sie mit der elektrischen Kapazitat C nicht verwechselt wird.

Setzt man

K' = \nK , K>0,

dann nimmt (4) die Form an

ln|/| = ln e ^RC + ln K

t

ln|/| = \nKe~^RC

t

I -K e ^RC (5)

Aus physikalischer Sicht ist 7 > 0 und deswegen kann das Betragszeichen weggelassen werden. Daraus ist ersichtlich, dass der Strom abklingt.

Es gibt also nicht nur eine aber unendlich viele Lósungen der Dgl (2). Sie bilden eine Ldsungsschar oder aligemeine Losung (rodzina funkcji lub rozwiązanie ogólne). Durch die gegebene Differentialgleichung (2) wird nicht nur eine einzelne Kurve (krzywa całkowa) gekennzeichnet, sondem eine Schar von Kurven (rodzina krzywych całkowych). Aus physikalischen Grunden ist die Kurvenschar auf den 1. Quadraten des Koordinatensystems beschrankt (Fig. 1 .)* Im Algemeinen ist es móglich, dass durch jeden Punkt der Ebene des Koordinatensystems eine Kurve geht.

Sie wird durch den Wert der einen Konstanten festgelegt und deswegen spricht man von der einfach unendlichen Kurvenschar (jednoparametrowa rodzina rodzina krzywych). Sollte es in der allgemeinen Losung zwei Konstanten geben, dann spricht man von einer zweifach unendlichen Kurvenschar.

Nun wird die Anfangsbedingung (!’) beachtet

7(0) = 7₀

(6)

Setzt man sie in (5) ein

7₀ = Ke° => K = 7₀ =>

7 = 7₀e ^RC

(7)

so kam man sagen, dass sie aus der Lósungsschar die gesuchte Funktion wahlt (Fig.2 ). Geometrisch bedeutet dies, dass die gesuchte Kurve durch einen bestimmten Punkt gehen soli. Die Differentialgleichung (2) und die