page0381

375

Równania

d \-h

strony przez g, będzie-—g ³—ag** — bg — C, druga strona jest całkowi-

d -f- h

ta, przeto całkowite jest także——— = «, a przeto ż=— g³—ag ²— bg—c₇

i -j- c

zką/-j-e =—g⁸ — ag²—bg₇ więc-=—g² — ag — b, uczyniwszy

t -j- c

-— k, będzie k~—g²—ag—b, a więc k + b=—g²—ag, dzieląc przez

k -j- b    kĄ-b

g, j^est:“^— =—g—a,    — ł, i—~g—a i lĄ-a=—g, a więc

/ -j- a    l-\-    a

-—— 1, a oznaczywszy-— n mamy n = — 1, czyli n + 1 = O.

g    g    -

Aby więc jakowy dzielnik g ostatniego wyrazu był pierwiastkiem równania, powinien on zadosyć czynić następującym warunkom: summa ilorazu z ostatniego wyrazu przez ten dzielnik i przedostatniego wyrazu równania podz e-lona przez g, dać powinna iloraz całkowity, który dodany do spółczynnika wyrazu poprzedzającego przedostatni i podzielony przez g, daje iloraz całkowity, który zadosyć czyni takicmuź warunkowi, nakcniec iloraz ostatni dodany do spółczynnika wyrazu pierwszego ("który to spółczynnik jest 1) daje na wypadek zero. W równaniu x$— xⁱ— 11 X ³ -f- 12 x ² -f- 11 x— 6 — 0; dzielnikami wyrazu ostatniego są: 1, 2, 3; 6, — 6, — 3,— 2 — 1, pomiędzy niemi więc są pierwiastki wymierne, poddajmy próbie dzielnik 3, będzie:

—    6:3 =— 2, — 2+11=9, 9:3=3,3 + 12^15, 15:3=5, 5— li= — 6,

— 6:3= — 2, —2—-1= — 3, —3:3 = — 1, —1 + 1 = 0; przeto 3 jest pierwiastkiem równania danego. Jeżeli spółczynniki równania nie są liczbami wielkiemi, można użyć podstawiania dzielników ostatniego wyrazu na miejsce niewiadomej, a które z nich sprawdzają równanie, te są jego pierwiastkami. Co mówione o równaniach stopni wyższych, stosowało się do równań mających spółczynniki całkowite, a nadto przypuszczaliśmy spółczynnik wyrazu pierwszego równy 1, lecz jeżeli równanie ma spółczynniki ułamkowe, w takim razie po zniesieniu mianowników otrzymamy równanie, w którem spółczynnik pierwszego wyrazu będzie różny od + takie równanie można zawsze przekształcić na inne, w którem spółczynnikiem pierwszego wyrazu będzie 1. Niech bedzie równanie ax^m + bx^m~^x + cx^m— M+fx+g—_0y

y

gdzie a, b, e,.....f ₇ g, są liczbami całkowiteim, uczyńmy X =■

ym    ym-1    ym-2    y

f>ędz.e ^="1 +    7    +.....+ f~+g = o, pomnożywszy

wszystkie wyrazy przez a^m 1, otrzymamy:

ym fjym i (icy^m 2 +.....+ a^m 2 fy -f- a ^{m l}g=o, równanie, którego

spółczynniki są całkowite a spółczynnik wyrazu pierwszego równy jest 1. — Wyszukiwanie pierwiastków niewymiernych, chociaż pracowitsze, nie przedstawia jednak tyle trudności jakby się zdawało, co zawdzięczamy pracom Taylora, Rolle, Newton’a, Lagrange’a i Fouriera. Do rozwiązania równ*ń użyć także można w pomoc geometryi. Niech bedzie równacie F(x)=:o, uczyńmy y— F{x) i wykreślmy krzywą, którą to równanie wyraża, a odcięte punktów, w których krzywa przetnie oś odciętych, będą pierwiastkami równa-