0181

183

§ 2. Pole i objętość

11) Rozpatrzymy teraz dwa walce kołowe, oba o promieniach r, których osie przecinają się pod kątem prostym. Obliczymy objętość bryły ograniczonej tymi walcami.

Bryla OABCD przedstawiona na rysunku 33 jest jedną ósmą interesującej nas bryły. Oś x poprowadzimy przez punkt O przecięcia się osi walców prostopadle do obu tych osi. Wtedy przekrój bryły OABCD płaszczyzną, poprowadzoną prostopadle do osi x w odległości x od punktu O, jest kwadratem KLMN, którego bok wynosi MN — j/r²—x², a zatem pole \P (*)| = r²—x². Ze wzoru (15) otrzymujemy więc

r

\V\ = 8 j(r²-x²)dx = ^r² . o

12) Rozwiązać to samo zadanie przy założeniu, że promienie tych walców są różne: r i R>r.

Różnica w porównaniu z poprzednim zadaniem polega jedynie na tym, że odpowiedni przekrój nie jest teraz kwadratem, ale prostokątem o bokach \/r²—x² iy^,R²—x². Zatem w tym przypadku objętość wyraża się całką eliptyczną

r _

\V\ = 8 J ]/(R²-x²)(r²-x²) dx.

0

Podstawiając w tej calce x — r sin <p i k — r/R, otrzymujemy

«/2 _

\V\ — 8Rr² J cos²    }/l — k² sin² dtp — 8 l?r²*/.

o

Sprowadzimy teraz całkę / do całek eliptycznych zupełnych obu rodzajów. Przede wszystkim jest

K/2    7t/2

]/l—k² sin²ę>

/= f . ^cos-g-dm-k² f J>migęosfg__{fte = /l+/},.

r    |/l—fc² sin²ę>    r    l/1 — k² sin²®

Dalej

h-i    d^^±f    + T/i-WMłdf.

;    }/l— k² sin²y    *    ^ ]/l—*²sin²?>    * ^

Z drugiej strony, całkując przez części, otrzymujemy

Wl

h — y j sin2<p d^l—k² sin²ę> = ysinęi    — k² sin²y |*^/2 — J cos 2<p- ^1— k² sin²ę> d<p =

² 0    o

«/2 _

= J (1— 2cos²ę>)^l— A:² sin²ę> d<p = E(k)—21.

Stąd wynika, że

W ten sposób otrzymujemy ostatecznie

W\ = | J«³[(l+*²) E (*)—(! -k²) K (*)].