0161

163

§ 2. Pole i objętość

Czasami wygodnie jest zamiast wielokątów użyć innych figur, których mierzalność jest udowodniona:

2) Jeśli dla figury P można zbudować takie dwa ciągi {Q_n} i {/?„} figur mierzalnych, odpowiednio zawartych w P i zawierających P i takich, że ich pola mają wspólną granicę

(3)    lim |QJ = lim |R.\ = |P|, to figura P jest także mierzalna i przy tym pole jej jest równe wspomnianej granicy.

Wynika to od razu z poprzedniego twierdzenia. Wystarczy tylko zastąpić każdą figurę Q_n zawartym w niej wielokątem A„, a każdą figurę R_n — wielokątem R_n zawierającym ją, o polach różniących się tak mało, żeby spełniony był równocześnie warunek (2).

Chociaż w praktyce nie ma trudności z dobraniem figur A_n, B_n, Q„ i R„, występujących w podanych wyżej sformułowaniach, to jednak ze względów zasadniczych ciekawe jest usunięcie niejednoznaczności związanej z tym wyborem. W tym celu można postąpić na przykład tak:

Umieśćmy rozpatrywaną figurę P wewnątrz prostokąta R o bokach równoległych do osi układu współrzędnych. Prostokąt ten rozbijamy na części za pomocą pewnej liczby prostych równoległych do jego boków. Prostokąty całkowicie zawarte w obszarze P

Rys. 16

tworzą figurę A (na rys. 16 jest ona zakreskowa-na), a prostokąty, mające z P wspólne punkty wewnętrzne (prostokąty te mogą częściowo wychodzić poza obszar P) tworzą figurę B. Figury te są oczywiście szczególnymi przypadkami wielokątów A i B, o których była mowa w definicji pola; ich pola \A\ i |B| zależą od sposobu podziału prostokąta R na części. Przez d oznaczamy długość najdłuższej z przekątnych prostokątów podziału.

3) Obszar P jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, kiedy przy d -* 0 oba pola \A\ i |B| dążą do wspólnej granicy |P|; jeśli ten warunek jest spełniony, to wspólna granica |P| jest równa polu obszaru P.

Czytelnik może sam bez trudu wysłowić definicję, którą tu podaliśmy, zarówno „w języku e—S" jak i „w języku ciągów”.

Dowodu wymaga tylko konieczność wskazanego warunku. Przypuszczamy więc, że pole figury P istnieje i udowodnimy, że wtedy

(4)

lim\A\ = lim |B| = |P|.

<1-0    i-0

Do danego e > 0 dobieramy [335] takie wielokąty A i B, żeby było |B| — \A\ < e; można przy tym założyć, że ich kontury nie mają punktów wspólnych z konturem K figury P. Oznaczamy przez 5 najmniejszą z odległości między punktami konturów obu u*