0183

18S

§ 2. Pole i objętość

Pole powierzchni opisanej przez całą linię łamaną jest więc równe

I-O

Otrzymane wyrażenie rozbijamy na dwie sumy w sposób następujący:

161 ^ytlt+n^Tiyt+i-yi) h-

1-3>    1=o

Ponieważ funkcja y = W(s) jest ciągła, więc (dzięki jednostajnej ciągłości funkcji) można przyjąć, że nasza krzywa jest rozbita na tak drobne części, iż wartości bezwzględne wszystkich różnic j,₊₁ —y_t nie przewyższają dowolnie małej liczby dodatniej s. Wtedy

n—1    n—1

« ^(yi+i-yd h < CTt ^ Z, < ettS .

1=0    1=0

Wynika stąd, że suma ta dąży do 0, jeśli tylko max As, -> 0.

Natomiast sumę

2n yt U

I—0

można rozbić na dwie sumy w sposób następujący:

2tc ^ y, As, - 2n ^ y, (As, -1,) .

1=0 (=0

Z ciągłości funkcji W (s) wynika, że jest ona ograniczona, więc dla każdego i zachodzi nierówność |y,| < M, w której M jest pewną liczbą stałą. Oznaczając ostatnią sumę przez r, otrzymujemy

|t| =2n^y,(As,-l,)^2nM(S-Y_tl,).

1=0 1=0

Z definicji długości łuku, jako granicy długości łamanych wpisanych w krzywą (¹), widzimy, że przy dzieleniu krzywej na coraz drobniejsze części różnica

n—l

ł=0

^S-Ś>

musi dążyć do 0. Ale wtedy również t -* 0. Pozostała suma

W—A

a = l-n^^y, As, 1=0

jest sumą całkową dla całki

s

2na j yds, o

O Wynika to bezpośrednio z definicji jedynie dla krzywej zwykłej nie zamkniętej. Jednakże łatwo otrzymuje się to również dla krzywej zwykłej zamkniętej przez rozbicie jej na dwie krzywe nie zamknięte.