033

hledany podli pak dostaneme jako obraz tohoto ćlsla ve stejnolehlos-

ti sc stredem v podatku a s kocficientem . Vypoćtem se mużete —1+i

presvedćit, źe je ^    . = i.

Obr. 2.12

Ulohy

2.21    Dokażte, że platl: Obraz podllu - komplexnlho ćlsla z a korn-

s

plexnl jednotky s = cos a + i sin a se graficky sestrojl tak. że se obraz komplexnlho ćlsla z otoćl kołem podatku o uhel —a.

2.22    Urcete graficky soućet, z\ + z? a rozdll z\ - z-2 komplexnlch ćlsel

z i, 22, kde

b)

a) 2] = 2 + 3i, z-2 = 2 - 3i, c) 2] = 1, z-2 = -i,

2.23 Urćete graficky:

a) (2 — i) (cos |7t + i sin §tc)

b) Z\ — -3 + i, 22 = 1 - 2i, d) Z\ =2 — i, 22 = 2i.

2 — i

2.24    Zvolte v Gaussove rovine libovolne ćlslo 2 a sestrojte graficky ćlsla 3z, -52, 2, 121, i2, —i 2, z², i z², z — 1, -•

2.25    V Gaussove rovine zvolte libovolna ćlsla zi, z-2, 23 a graficky se-

strojte ćlsla z\ + 22 + 23, 21 — z-2 - 23, (23 — 21)

22 Z\ + 222

\z₂\ ’ |zi + 2221 '

Geometricky vyznam absolutni hodnoty

\z\ urćuje vzdalenost ćisla z od podatku

l^i — z₂| urćuje vzajemnou vzdalenost ćisel Z\, z₂

Goniometricky tvar komplexniho ćisla

Je to zapis komplexniho ćisla pomoci jeho vzda-lenosti r od poćatku a jeho argumentu p:

z = r (cos p + i sin p)

Souvislost s algebraickym tvarem:

a = rcosb = rsinp, r — \z\— \Ja² + b² a + bi = r cos p + i (r sin p) = r (cos p + i sin p)

Nasobeni a dćleni komplexnich ćisel v goniometrickem tvaru

zi — n (cos pi + i sin <pi), z₂ = r-₂(cos p2 + i sin p₂)

ziz₂ - nr₂ [cos(v?i + <ps) + i(sinpi + p₂)\

— = — [cos(^i - P2) + i (sin p\ - p₂)\ z₂ r₂

Moivreova veta (zobecnena pro cely exponent):

Pro każde cele ćislo n a libovolny argument p plati

(cos p + i sin p)ⁿ = cos np + i sin np

65