0367

369

$ !. Zbieżność jednostajna

Otrzymane warunki w bardzo małym stopniu nadają się do stwierdzenia w praktyce jednostajnej zbieżności konkretnych ciągów lub szeregów. Wykorzystujemy więc w tym celu oparte na nich warunki dostateczne, wygodniejsze w praktyce. Formułuje się je zwykle w zastosowaniu do szeregów.

430. Kryteria jednostajnej zbieżności szeregów. Oto najprostsze i najczęściej stosowane kryterium:

Kryterium Weierstrassa. Jeżeli dla wyrazów szeregu funkcyjnego (3) zachodzą w obszarze OC nierówności

(9)    l«»(x)|<c„ (n = 1,2,3,...),

gdzie c„ są wyrazami pewnego zbieżnego szeregu liczbowego

00

(C)    = c! + c₂+ ... + c„ + ...

to szereg (3) jest zbieżny w jednostajnie.

Gdy zachodzi nierówność (9), mówimy, że szereg (3) jest majoryzowany przez szereg (C) lub też, że (C) jest majorantą szeregu (3).

Rzeczywiście, z (9) otrzymujemy nierówność

|W|i + l(*)"i"W»+2(*)"l" ••• "b^n+mOOI ^ ^n + 1 "i"^<i+2 “ł" •••

spełnioną jednocześnie dla wszystkich x z obszaru 9C. Zgodnie z zasadą zbieżności, którą stosujemy do szeregu liczbowego (C), dla dowolnego e > 0 znajdziemy takie N, że dla n > N prawa i lewa strona nierówności będzie już mniejsza od e, przy tym dla wszystkich x jednocześnie. Tym samym, zgodnie z warunkiem z ustępu 429, twierdzenie zostało udowodnione.

Tak więc na przykład szeregi

CO    00

y a_n sin nx, y a„ cos nx,

n«l

oo

są jednostajnie zbieżne w dowolnym przedziale, jeżeli tylko szereg £ a„ jest bezwzględnie

11=1

zbieżny. Przecież jest

|a„ sin nx\ < \a_n\,    |a, cos itx| \a_n\ ,

00

więc rolę majoranty odgrywa tu szereg £ \a_n\.

i

00

Uwaga. Każdy szereg £ u„(x) jednostajnie zbieżny w można przez odpowiednie

n=l

ustawienie nawiasów przekształcić w szereg, do którego już można zastosować kryterium Weierstrassa.

00

Rzeczywiście, niech £ c_k będzie realnym szeregiem zbieżnym o wyrazach dodatnich. *-1

24 Rachunek różniczkowy