0403

405

§ 3. Zastosowania

Otrzymane wyniki można w szczególności zastosować do funkcji Riemanna dla x>0.

4) Spotkaliśmy się już z rozwinięciem funkcji Bessela ze wskaźnikiem zero J₀(x) w szereg potęgowy

te

(Ar!)* • 2“

[395, 14); 440, 12)].

Pokażemy teraz, że funkcja ta spełnia równanie różniczkowe Bessela

xu‘+u'+xu = 0.

Przyjmując u = Jo(x) mamy

V (— IV^-1 (2^)^ł . v2*-l

^}    (k!)²-2²‘    ’

a następnie różniczkując dwukrotnie rozwinięcie u, dostajemy

00

«'=y\-i)*

2 k

(Ar!)* * 2**

xu

2>k (2A: —1) (A^-!)² - 2²*

Gdy dodamy te równości, to współczynnik przy X²*^-1 będzie równy

■ [2k (2k-l)+2/fc-(2*)²] = 0 ,

(-ii*

(A!)²-2“

i otrzymujemy żądany wynik.

Analogicznie można się przekonać o tym, że funkcja Bessela /„(x) o dowolnym wskaźniku naturalnym, o której też poprzednio mówiliśmy, spełnia ogólne równanie Bessela

x*u'+xu'±(x²-nⁱ) u = 0.

5) Bardziej kształcące będzie inne postawienie zagadnienia: znaleźć funkcję dającą się rozwinąć w szereg dla wszystkich x i spełniającą równanie Bessela.

Zrobimy to, na przykład, w najprostszym przypadku n — 0. Napiszmy rozwinięcie szukanej funkcji w postaci szeregu o współczynnikach nieoznaczonych

u = £ a_m x^m

m—0

i przyjmując, że jest on wszędzie zbieżny, zróżniczkujmy go dwukrotnie wyraz za wyrazem. Podstawiając wszystkie te rozwinięcia do równania, otrzymujemy

ai+ (m²a_m + a_m-₂) x^m~^x = 0 .

m»2

Z twierdzenia 3⁴ [437] wynika

fli = 0, rn²a_m+a_m~2 =0 (m = 2, 3,...) .

Stąd, przede wszystkim, otrzymujemy, że współczynniki o wskaźnikach nieparzystych są zerami a₂t-i = 0 (k = 1, 2, 3, ...). Natomiast o współczynnikach ze wskaźnikami parzystymi a₂* możemy powiedzieć, że wszystkie one wyrażają się przez a₀ wzorami redukcyjnymi

«2* = (~1)‘

Qq

(Ar!)² -2** ’

A więc otrzymujemy znów funkcję J₀(x) z dokładnością do dowolnego czynnika a₀.