0222

§ 5. Wzór Taylora

223

Zastosujemy do funkcji ę{z) i \f/{z) wzór Cauchy’ego [114]:

gdzie

Ponieważ

<P(x)-<p{x₀)^(p\ć)

x₀<c<x lub c = x_o + 0(x—x₀) (O<0<1).

/⁽"⁺¹⁾(c)

<p(x) = 0, ę (x₀) = r„(x) ,    <p’(c) ----(x - c)” ,

n !

więc

, , ¥(x)-_V(x₀) f^n+l\c)_/

^r»^{W =}-\-■ ' -i-(^X~^C)

y/(c)    nl

Jeśli teraz zamiast y/(z) podstawimy dowolne funkcje spełniające postawione warunki, otrzymamy rozmaite postacie reszty r„(x).

Niech i//(z)=(x-z)^p, gdzie p> 0. Mamy

y/'(z)= —p(x—z)^p~^l (x₀<z<x).

Funkcja ta spełnia oczywiście postawione warunki. Wobec tego

, ,    /⁽"^+ł)(c), f^(n+l\c)_r ,_n+1__p,

^rn(x)=--7-r==i----:—(x-c)” =---(x-c)^{n p}(x-x₀)^p.

— p (x — c)^p n !    n ! p

Ponieważ c=x_o + 0(x—x₀), więc x—c=x—x₀ — 6(x — x₀)=(l — 0)(x — x₀) i ostatecznie

(O<0< 1).

r_B(x) J--(^X0 + ^(x X₀» . ₍ J _ _ey + 1 -    _ _Xo)n + 1

n \p

Wyrażenie to nazywa się resztą w postaci Schlómilcha-Roche’a. Z niej można otrzymać, nadając p konkretne wartości, różne postacie szczególne reszty. Przyjmując p=n +1 otrzymujemy postać Lagrange'a reszty

y(»+i)(_c)

^rn(x)= , , ,,, (x-x₀)"⁺¹    (x₀<c<x lub x<c<x₀) ;

(n + 1)!

jest ona szczególnie prosta, przypomina kolejny wyraz wzoru Taylora, lecz zamiast obliczać pochodną w punkcie x₀, pochodną tę obliczamy w punkcie c, pośrednim między x₀ i x. Wzór Taylora z resztą w postaci Lagrange’a ma więc postać następującą:

(13)    /(x) =/(x₀) +    (x-x₀)+^ ^^0> (x ■

1 !

2!

-x₀)² + ...+^}—~ć-(x-x₀)ⁿ +

fi** »_(c)

-I--(x —x₀)"⁺¹ (x₀<c<x lub x<c<x_n) •

(n + 1)!    ⁰