0198

199

§ 3. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

114. Wzór Cauchy’ego. Wzór Lagrange’a można uogólnić w następujący sposób: Twierdzenie (Cauchy’ego). Niech

1)    funkcje f(x) i g(x) będą ciągle w przedziale domkniętym <«, ó>;

2)    istnieją pochodne skończone f'(x) i g'(x) przynajmniej w przedziale otwartym (a, b);

3)    #'(-*) #0 w przedziale (a, b).

Wówczas między a i b można znaleźć taki punkt c (a<c<b), te

m-m m

g(b)—g(a)    g'{c)

Wzór ten nosi nazwę wzoru Cauchfego.

Dowód. Wykażemy najpierw, że mianownik lewej strony naszej równości nie równa się zeru, gdyż w przeciwnym razie wyrażenie to nie miałoby sensu. Gdyby było g(b) = =g(a), to na mocy twierdzenia Rolle’a pochodna g’(x) byłaby równa w pewnym punkcie pośrednim zeru, co przeczy założeniu 3), zatem g(b)^g(a).

Rozpatrzmy teraz funkcję pomocniczą

F(x) =/(x) -/(a) - ^    [>(*) - g(aj].

g(b)-g(a)

Funkcja ta spełnia wszystkie założenia twierdzenia Rolle’a. Rzeczywiście, funkcja F(x) jest ciągła w <a, ó>, gdyż ciągłe są funkcje f(x) i g(x). W (a, b) istnieje pochodna F'(x), jest ona mianowicie równa

F'(x) =/'(*)-

m-m

g(b)-g(a)

g'(x).

Bezpośrednim podstawieniem możemy się przekonać wreszcie, że F(a)=F(b)=0. Wskutek tego istnieje w przedziale (a, b) taki punkt c, że F\c)=0. Innymi słowy

m-m ,_{fS n}

f(c)--—-—•0(c)=O,

g(b)—g(a)

czyli

m-m

/(c)=—-—5(c).

g(b)-g(a)

Dzieląc przez g'(ć) (jest to możliwe, ponieważ g'{ć)^ 0) otrzymujemy równość, którą chcieliśmy udowodnić.

Rzecz jasna, twierdzenie Lagrange’a jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Cau-chy’ego. Aby otrzymać ze wzoru Cauchy’ego wzór Lagrange’a, trzeba przyjąć g (jc)=x. Twierdzenie Cauchy’ego nazywa się uogólnionym twierdzeniem o wartości średniej (w rachunku różniczkowym).

Geometryczna ilustracja twierdzenia Cauchy’ego jest ta sama co i dla twierdzenia Lagrange’a. Żeby czytelnikowi było łatwiej to zauważyć, przejdziemy do innych oznaczeń: