1862543794

rozwiązanie zagadnienia najlepszej aproksymacji. Zastosowanie do opisu postaci funkcjonałów. Istnienie baz ortonormalnych. Abstrakcyjny i klasyczny szereg Fouriera.

4.    Operatory liniowe w przestrzeni Hilberta - wstęp (6 godzin) Przykłady operatorów. Operatory gęsto określone domknięte, symetryczne i samosprzężone. Sformułowanie twierdzenia spektralnego, prykłady zastosowań.

5.    Klasyczne twierdzenia o operatorach w przestrzeniach Banacha (5 godzin). Zasada jednostajnej ograniczoności, twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym, o izomorfizmie i o wykresie domkniętym. Zastosowania (równoważność norm, opis części widma, „automatyczna ciągłość”).

6.    Przestrzeń dualna (5 godzin). Twierdzenie Hahna-Banacha. Zastosowania w analizie wypukłej. Słaba zbieżność. Wzmianka o dystrybucjach.

Literatura:

1.    A.V. Balakrishnan, Analiza funkcjonalna stosowana, PWN 1992.

2.    J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN 1989.

3.    W. Młak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, PWN 1987.

4.    W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN 2001.

5.    K. Rudol, M. Malejki, Analiza funkcjonalna. Kurs podstawowy, UWND AGH 2001. http://www. wms. agh. edu.pl/mat-dyd/cojuhari-rudol

Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 15 godzin ćwiczeń ( z wyjątkiem MliZ).

Forma zaliczenia: Zaliczenie, egzamin.

| ST-AZ | ANALIZA ZESPOLONA |

Cele przedmiotu: Poznanie podstawowych pojęć i twierdzeń analizy zespolonej, które mają zastosowanie w innych dziedzinach matematyki.

Zawartość programowa:

1.    Geometria i topologia płaszczyzny zespolonej (4 godziny). Sfera Riemanna.

2.    Szeregi zespolone (2 godziny). Zbieżność szeregu, zbieżność bezwzględna. Kryteria zbieżności szeregów (Weierstrassa, Cauchy’ego, d’Alemberta, Dirichleta).

3.    Szeregi potęgowe (4 godziny). Wzór Cauchy’ego-Hadamarda na promień koła zbieżności. Funkcje analityczne w sensie Weierstrassa. Zasada identyczności, zasada maksimum. Elementarne funkcje analityczne (e^z, sin z, cos z). Wzory Eulera, funkcje sinh i cosh.

4.    Pochodna zespolona (4 godziny). Równania Cauchy’ego-Riemanna. Funkcje analityczne w sensie Riemanna. Pochodne funkcji analitycznich w sensie Weirestrassa. Przedłużanie funkcji analitycznej. Lokalna odwracal-ność funkcji analitycznej. Logarytm i pierwiastek.

5.    Całka krzywoliniowa skierowana i nieskierowana z funkcji zespolonej (4 godziny). Twierdzenie całkowe Cauchy’ego. Wzór całkowy Cauchy’ego. Funkcje analityczne w sensie Cauchy’ego. Rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji analitycznej w sensie Cauchy’ego. Równoważność definicji analityczności. Nierówności Cauchy’ego, twierdzenie Liouville’a. Zasadnicze twierdzenie algebry.

6.    Bieguny i osobliwości funkcji analitycznej (4 godziny). Rozwinięcia funkcji w szereg Laurenta. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa.

7.    Residuum funkcji analitycznej (4 godziny). Twierdzenie o residuach. Zastosowanie twierdzenia o residuach do obliczanie całek rzeczywistych. Twierdzenie Rouchego. Twierdzenie Hurwitza.

8.    TVansformacja Laplace’a (4 godziny). Własności i zastosowania.

Literatura:

1.    W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN 1999.

2.    F. Leja, Funkcje zespolone, 1979.

3.    J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, PWN 2000.

4.    B.W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN 1974.

5.    J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN 2005.

Liczba godzin: 30 godzin wykładu dla wszystkich specjalnościach + 15 godzin ćwiczeń na MOiK i MTiP. Forma zaliczenia: Egzamin pisemny na specjalnościach MFiU i MliZ oraz ustny na specjalnościach MOiK i MTiP.

3