0407

§ 3. Zastosowania

409

możemy go sprowadzić do postaci:

r'(x)

r(x)

-c+

1

x+v

)•

Łatwo można się przekonać o tym, że funkcja r(x) ma pochodne wszystkich rzędów.

442. Metoda kolejnych przybliżeń w teorii funkcji uwikłanych. Ażeby pokazać zastosowanie teorii szeregów (lub ciągów) funkcyjnych w praktyce, rozpatrzmy zagadnienie o istnieniu funkcji uwikłanych [206 i następnej. Dla przejrzystości ograniczymy się do przypadku pojedynczego równania

(7)    F(r,y) = 0,

z którego należy wyznaczyć y jako jednoznaczną funkcję zmiennej x. Tym razem zastosujemy metodę kolejnych przybliżeń, dzięki której będziemy mogli nie tylko ustalić jej istnienie lecz także podać wskazówki dotyczące jej efektywnego obliczenia.

Niech funkcja F(x, y) będzie ciągła, wraz ze swą pochodną F'_y (x, y), w pewnym kwadracie D = <x₀—A, x₀ + A;y₀-A,y₀ + A'> ze środkiem w pewnym punkcie (jr₀, yo). przy czym

(8)    F(x₀, y₀) = 0, lecz F’,(x₀, y₀) * 0.

Równanie (7) określa wtedy, w otoczeniu punktu (x₀, yo), y jako funkcję jednoznaczną i ciągłą zmiennej x, która dla x = x₀ przyjmuje wartość y₀.

Wygodniej będzie rozpatrywać najpierw przypadek szczególny, gdy równanie (7) ma postać

(7*)    y = yo-k<p(x,y),

gdzie na funkcję <p i jej pochodną <p’_f nakładamy podobne warunki, jakie spełnia funkcja F z tym, że warunki (8) są zastąpione przez

(8*)    q> (*o, yo) = 0,    \cp',(xo, y₀)l < 1 •

Z uwagi na ciągłość pochodnej możemy od razu założyć, że obszar ‘21 jest tak mały, że w nim jest zawsze

(9)    Iy)l < A,

gdzie A jest pewną stałą mniejszą od jedności. Następnie zachowując przedział zmienności y, musimy jeszcze zmniejszyć przedział zmienności x. Zastąpimy go tak małym przedziałem (x₀ — ó, x₀+<5>, żeby w nim funkcja ciągła <p (jr, y₀) zmiennej x, która dla x = x₀ jest równa 0, spełniała nierówność

(10)    |₉>(x,y„_l)| <(1-A)J.

Tak więc wyznaczyliśmy obszar

T>* - <x₀-d, x₀ + d\y₀~A,y₀+Ay ,

do którego będzie się właśnie odnosiło dalsze rozumowanie.

Podstawiając do prawej strony równania (7*) stałą y₀ w miejsce y, otrzymamy pewną funkcję zmiennej x:

yi = yi(x) = y₀+?> (*, yo) •

Analogicznie przyjmujemy kolejno:

yi - y*(*) = y₀+?> (*, y,), yj = y₃(x) = y₀+ę> (*, y₃),