044

coz jsou cisla Po =

V i =

(cos ^ + i sin ^,

^(_cos^ _{+ isin}^j ₌

= VTD| (cos + k) + i sin    =

⁼ V\D\ (- cos ^ - i sin ^ = —y

~V\D\ (cos ^ + i sin ^.

Dosazenirn ^°’ Sb ^yztahu y — 2ax + b dostancme po uprave koreny xi (dosazenirn y₀) & _X-₂ (dosazenirn yi) dane rovnice:

Xi

_ ~b+ \/\D\ (cos + i sin ±a)

2a

x₂ =

—b — \/\D\ (cos |q + i sin §a)

2o

Stojnym zpusobem jako v blanku 3.1 si mużetc ovórit, że jine kore-ny dana rovnice nema. Uv£domine si jeśte, że tyto vzorce plati i pro D = 0, kdy neni definovan argument cisla D. V tom pfipade totiż staći zvolit za a libovolne realne ćislo, nebot' ze vztahu

plyne

V\0\ (cos ja + i sin ^q) = 0 b

^Xl=X2 = -^'

coż jsou koreny dane rovnice pro D = 0. Muźeme tedy shrnout:

Kvadraticka rovnice ax² + bx + c — 0 s kompłexnimi koefi-cienty ma v oboru komplexnich ćisel prave dva koreny, kte-re v pripade, że jeji diskriminant D — ł>² — 4ac. je roven nule, splynou; jsou to cisla

—b ± y/\D\ (cos + i sin |a)

■Cl,2 =    2o    ~~ ’

kde q je argument jejiho diskriminantu pro D ^ 0 a libovolne realne cislo pro D — 0.

Pozndmka. Tento vzorec si nemusfte pamatovat. Foużijerne ho pouze v nSkolika nasledujicich pKkladech.

Uvedeny vzorec plati pro kvadraticke rovnice s komplexnimi koe-ficienty, także by mel platit i pro kvadraticke rovnice s koeficienty realnymi, nebot’ realna Cisla jsou zvla.śtmm pripadem ćlsel komplexnich. Ukażme si, że je to pravda.

Mejme tedy kvadratickou rovnici s realnymi koeficienty, jejiż diskriminant je D, a zkusme urćit jeji koreny podle vzorcu pro kvad-ratickou rovnici s koeficienty komplexnimi.

1. Je-li D > 0, je argument a Cisla D roven nule, je-li D = 0, zvolime za a libovolne realno Cisło; v obou pripadech plati

^\D\ (cos ja + i sin ja) = a/|£>{(cos0 + isinO) = V~D;

pro koreny xi,2 tak dostavame xi,2 =

-b±VD

coz je zna

2 o

my vzorec pro koreny kvadraticke rovnice s realnymi koeficienty a s nezapornyin diskriminantem.

2. Je-li D < 0, je argument a Cisla D roven n, także

y/\D\ (cos ja 4- i sin ja) = y/\D\ (cos j7i + i sin jti) = i\f-D\

—b ± i\J—D 2a~

, coz je znamy

pro koreny X\$ tak dostavame Xi,2 =

vzorec pro koreny kvadratieke rovnice s realnymi koeficienty a se zapornym diskriminantem.

Vidime tedy, że pro reseni libovolne kvadraticke rovnice teore-ticky staCi pamatovat si jediny vzorec a że neni treba rozlisovat, zda jsou jeji koeficienty Cisla realna, Ci nikoli, ani zda jeji diskriminant je zaporny, ci nezaporny; avśak vzliledem k tomu, że v praxi se nejćasteji setkavame s kvadratickymi rovnicemi s realnymi koeficienty, pamatu-jeme si jen oba zvlaśtni pfijjady tohoto vzorce obecneho.

Poznamenejme jeśtC, że komplexni Cisla, ktera jsou koreny kvad-raticke rovnice s komplexnimi koeficienty, nemusi byt sdrużena; sdru-źena jsou v pripade kvadraticke rovnice s realnymi koeficienty a zapornym diskriminantem.

87