0481

482

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

czyli

y=x²+x²y/x (x>0).

Obie gałęzie krzywej są w początku układu współrzędnych styczne do osi x i w jego pobliżu leżą nad osią (rys. 138).

Jeżeli tfn=ai2=<¹22=0> to trzeba rozpatrywać pochodne wyższych rzędów. W tym wypadku możliwe są bardziej złożone rodzaje punktów osobliwych, np. punkty potrójne i ogólnie n-krotne itd.

237. Przypadek parametrycznego przedstawienia krzywej. Powiemy jeszcze parę słów o punktach osobliwych krzywych płaskich danych równaniami parametrycznymi

x=<p(t), y~w(t)

Przypuśćmy, że dla ł=t₀ jest

x'₀= <p'(i₀)=Q,    y'o=v'(to)=0,

ale przy tym spośród pochodnych drugiego rzędu x'₀' i y'₀’ co najmniej jedna, na przykład x'₀', jest różna od zera.

Poprowadźmy sieczną przez punkty krzywej (x₀,y₀) i (x, y) odpowiadające wartościom parametru t₀ i t. Równanie tej siecznej można napisać w postaci

X-x₀ Y-y₀ x~x₆ y-y₀ '

Ponieważ xó=yó=0, przeto stosując wzór Taylora z resztą w postaci Peana [124, (10a)] otrzymujemy

x—x₀=i(x’ó+<x)(t—t_Q)²,

y-yo=ł(yó'+l5)(t-to)².

przy czym a i y? dążą do zera, gdy t->t₀. Podstawiając otrzymane wyrażenia do równania siecznej i mnożąc następnie to równanie obustronnie przez i(t—t₀)² nadamy mu postać

X-x₀ Y-y₀ x'ó+<x y'ó+P

Możemy tutaj przejść do granicy przy t-¹t₀ (¹) i otrzymać w ten sposób równanie stycznej

Ą (X-x₀). X_n

(19)

czyli y-

^xo    y o

Założyliśmy, że x'₀'^0; niech na przykład będzie x'₀'>0. Wówczas funkcja x= <p(t) dla t=t₀ ma minimum właściwe [137], a więc jest x>x₀ dla wartości t bliskich t₀, nie-

1

Patrz uwagę w ustępie 234, którą można tu powtórzyć, jeżeli rozpatrywany punkt jest pojedynczy.