0491

492

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

mujemy

(12)    M=y-^ = y(r)=^^)+g(x-x₀)"^łl.

(n + 1)!

Wobec tego

lim ^NM    ₌ P^0,+1W₌S⁽ⁿ⁺¹\x₀)-f^in+l)(x₀)

_X™(x-x₀)ⁿ⁺' (n +1) f    (w + 1) !

Tym samym jeżeli f^{n+1)(x₀)=śg^in+1}(x₀), to krzywe mają styczność rzędu n, jeżeli zaś /⁽'^,+1)(x_o)=0⁽ⁿ⁺¹⁾(*o)> to rząd styczności jest wyższy niż n. Wynika stąd przy założeniu istnienia wszystkich wymienionych pochodnych następujący wniosek:

Na to, aby w punkcie o odciętej x₀ krzywe y=f(x) i Y—g{x) miały styczność rzędu n, potrzeba i wystarcza, żeby

(13)    f(x₀) = g(x o),    f(x₀) = g'(x ₀) ,    ... ,    /⁽">(x₀) = g^M(x₀),

(14)    fⁱⁿ⁺¹\xo)¥=g⁽ⁿ⁺¹\x₀).

Jeżeli nie wiemy czy zachodzi nierówność (14), to możemy tylko mówić, że rząd styczności jest nie niższy niż n.

W przypadku gdy rząd styczności jest dokładnie równy n, z równości (12) wynika bezpośrednio, że przy parzystym n krzywe styczne w punkcie M₀ przecinają się w tym punkcie, a przy n nieparzystym nie przecinają się.

Uwaga. W świetle znalezionych warunków omówimy jeszcze raz samą definicję rzędu styczności. Definicja ta jest pozornie związana z wyborem układu współrzędnych. W rzeczywistości jednak rząd styczności dwóch krzywych nie zależy od wyboru układu współrzędnych, byleby tylko oś y nie była równoległa do wspólnej stycznej. Pojęcie to jest więc rzeczywiście pojęciem geometrycznym.

Jeżeli obrócimy układ współrzędnych o dowolny kąt a, to nowe współrzędne x* i y* wyrażą się przez stare według znanych wzorów

x*=xcosa+ysina ,    y*= — xsina+ycosa .

Niech będzie dana krzywa y =/(x) w starym układzie współrzędnych. Jeżeli w powyższych równaniach będziemy przez y rozumieli funkcję /(x), to równania te będą parametrycznym przedstawieniem danej krzywej w nowym układzie współrzędnych, przy czym x będzie parametrem. Oczywiście pochodne

dx*	, ^dy ■	Ł-	.^dy
—	= cosaH--sin a ,		-sma-l— cos a
dx	dx	dx	dx

nie mogą być jednocześnie równe zeru, tak że w tym przedstawieniu parametrycznym żaden punkt nie jest osobliwy. Pierwsza z tych pochodnych musi być wobec tego różna od zera w interesującym nas punkcie, bo w przeciwnym razie styczna do krzywej byłaby równoległa do osi y*. Zatem w otoczeniu tego punktu krzywą można w nowym układzie przedstawić równaniem y*=/*(x*).