0641

643

§ 4. Uzupełnienia

W zupełnie podobny sposób można udowodnić istnienie całki J K (x) clx, tj. całkowalność funkcji granicz-

a

nej dla f* (x) [por. (6)]. Wówczas, stosując do f* (*) twierdzenie 1 otrzymamy ostatecznie

d    b    t

f I (y) dy = lim j f*(x) dx = j K (x) dx ,

c    ■-*«    a

czyli

fdyf /(*, y)dx = f dxff(x, y) dy .

ca    a c

Rozważaliśmy tutaj jedynie całki właściwe. Przyjmując za podstawę udowodnione dla nich twierdzenia, można by odpowiednio uogólnić wyniki dotyczące całek niewłaściwych, nie będziemy się jednak tym zajmowali.

§ 5. Całki Eulera

529. Całka Eulera pierwszego rodzaju. Tak nazywamy (za Legendre’em) całkę postaci

i

(1)    B{a, fc) = J x‘^,-^,(l-x)^b- ‘dx,

o

gdzie a, b > 0. Przedstawia ona funkcję dwóch parametrów a i b — tak zwań % funkcję B („beta”).

Wiemy [483, 3) (a)], że całka ta jest zbieżna (') dla dodatnich wartości a i b (nawet mniejszych od jedności), a zatem może być przyjęta za definicję funkcji B. Zbadamy niektóre jej własności.

1° Przede wszystkim podstawiając x = 1 — t otrzymujemy od razu

B (a, b) = B (b, a);

a więc funkcja B jest symetryczna względem a i b.

2° Całkując przez części otrzymujemy z (1) dla b > 1 (²)

BI

r

¹ (a, b) = j (l-x)‘-¹d~ = o

x^a(l — x)^t-¹ u b — 1 r    ,

= —^--— +- x^a(l-x)^b~²dx =

a |₀ a J

b-1

= J x^a-¹(l-x)^b~² dx- j x^a~\\-x)^b~ⁱdx =

b-1

B{a,b-1)-

-²dx b-1

B(a,b).

(') Jeśli wartość choćby jednego z parametrów a, b jest ujemna lub zero, to całka jest rozbieżna. (²) Opieramy się tutaj na tożsamości

x^ = x‘~^,-x'-^l(l-x).