0655

657

§ 5. Cdki Eulera

(c) Wreszcie, przyjmując w (c) a = 1+c i b = 1—e ,gdzie |c|<l, otrzymamy stosując wzór na do* pełnienie

«/2 , / / tg^r9J</?7 =yT^-

1+c

2 cos

CK

2

5)    Obliczyć pole |P| figury ograniczonej krzywą

r⁴ = sin* 0 cos 9.

Rozwiązanie. Krzywa ma dwie pętle — w pierwszej i trzeciej ćwiartce, wystarczy podwoić pole jednej z nich. Zgodnie z wzorem na pole we współrzędnych biegunowych [338 (9)] mamy

Ifl - 2.    JO -    , ir₍i) r₍i) - ^

[por. zad. 4) (a) i związki (9), (12), (15)].

6)    Obliczyć (a) pole |P| figury ograniczonej jedną gałęzią krzywej

r^m = a* cos md (m — liczba naturalna)

i (b) długość |S| tej gałęzi. Rózwiązanie. (a)

K/lm    H/2    /’(—+—)

|i>| = 2- — f cos²'^mm0 d0 = -2- [ cos^J/"ę>dtp = — ■    ^

² o    ^ml    ^m 2    r(_L+i)

2 ^r(~)

— ^na .    A ^m /

^ Hi)]‘

[por. zad. 4) (b) i związki (9), (20)].

(b) Zgodnie z wzorem na długość luku we współrzędnych biegunowych [329 (4b)]

«/2

|£| = 2a ( cos" "* mddB = — f cos" <pdq> = — -2 J    m J    m

. .±- \^r ter)]’

^r(i)

[por. zad. 4) (b)].

7) Obliczyć całki n

(a) / —JL=; (b) f (_T1-‘^{n 2} V T-T²- (« > 0, 0 < * < 1).

J ^3—cos 6    i \ 1 + śr cos q> /    1+Arcosy

(a) Wskazówka. Podstawić: cos 0 = 1 — 2y/x .

Odpowiedź. ~7~i⁼    (t)] •

4 y 7t

(b)

Wskazówka. Podstawić tgy 0 =    tgy ?>.

Odpowiedź.

(1 -*V² ‘ r(a)