0665

§ 5. Całki Eulera

667

więc

Przejście graniczne w drugiej całce wykonujemy tak, jak w 1). Jeśli idzie o przekształcenia (a) i (b) — patrz 2).

4) Przyjmując (dla o > 0 i s > 1)

wykazać, że

lim [c (r, o)--—1 = ~

i—i+o L    r 1 J

r'(a)

r(a)

Widzieliśmy [534, 12) (a)], że

Wobec tego

{ U, a)--Ł-

s— 1

1-e-*

e~^:

x

)

dx.

Przejście graniczne można wykonać pod znakiem całki, bo dla s -*■ 1, wyrażenie podcałkowe dąży monofonicznie do swej granicy w każdym z przedziałów <0,1) i <1, + ao) [518], Następnie trzeba zastosować wzór (24).

Dla a — 1 otrzymujemy stąd w szczególności

lim

<-•1+0

= C

]

[porównaj 375, 1)].

5) Obliczyć wartość iloczynu nieskończonego

gdzie

u,

Ot+fli) (n+a₂) — 0>+gi) (n+ó,)(n+ó₂) ... (#i+ó»)

(a,, b_t> — 1)

(Euler). Ponieważ

(Mol <A < -ł-oo),