Struik 025

vśak pocetm technice, ale takovym pythagorejskym otdz-kam, jako je delitelnost celych cisel, sćitdni geometrlc-kych posloupnosti a nektere vlastnosti prvocisel. Zde nalezneme „Eukliduv algoritmus" pro zjisfoydni nejvSt-śiho spolecneho delitele dane skupiny cisel, a „Euklidovu vetu“ o tom, że existuje nekonecny pocet prrocisel (deva-ta kniha, 20. veta). Zvlaśte zajimava je 27. veta seste knihy, ktera obsahuje i s dukazem prvni v historii matematiky znamy maximalni problem, że ćtverec mS nejvetsi obsah ze vśech obdelniku daneho obvodu. Paty postulat prvś knihy (vztah mezi Euklidovymi „axiómy“ a „postulaty" neni jasny) je ekvivalentni tzv. „axiómu o rovnobeżkach“, podle nehoż Ize vest k danś primce danym bodem prave jednu rovnobeżku. Teprve v 19. stoleti vedly pokusy o re-dukci tohoto axiómu na pouhou vetu k plnemu uzndni Euklidovy proziravosti pri prijimani teto vlastnosti za axióm a vedly też k objevu jinych, takzvanych neeukli-dovskych geometrii.

Algebraicke uvahy jsou v Euklidove dile skryty zcela do geometricke podoby. Vyraz je zavaden jako strana ctverce o plose A, soucin ab jako płocha obdelniku o stra-naeh a ab. Tento zpusob vyjadrovani byl poprve vytvo-ren v Eudoxove teorii proporci, ktera zamerne odmitala ciselne vyjadrovat usecky, a tak pracovala s nesoumeri-telnymi velicinami cistę geometricky; za „cisla" se pova-żovala jen cela cisla nebo racionaini zlomky.

Jake cile sledoval Euklides vypracovdnim Zakładu? Mużeme se do urcite miry domnivat, że chtel spojit v jedinem dile tri velke objevy nedavne minulosti: Eudo-xovu teorii proporci, Theaitetovu teorii iracionainich ve-licin a teorii peti pravidelnych teles, zaujimajicich vy-znamne misto v Platónove kosmologii. Vśechny tri vysledky były typicky „recke“.

8. Nejvetsim matematikem helenistickeho obdobi, a tim vlastne i celeho staroveku, byl Archimedes (287—212), ktery żil v Syrakusach jako radcę krdle Hierona. Je jed-nou z mdlą postav starovekych ucencd, o ktere vime vice neż pouhe jmeno; o jeho żivote a osobę se zachovalo ne-kolik udaju. Vime, że poużil sve technicke znalosti k obrane Syrakus pred Rimany, a kdyż nakonec mesto padło, byl zabit. Jeho zajmy o prakticke aplikace nas udivujl, zejmena kdyż je srovname s pohrdamm, jakym byl tako-vy zajem trestan od jeho soucasnlkCi z Platónovy skoly, avsak vysvetleni nam prinasi jedno casto citovane mlsto z Plutarchova Marcella, źe totiż

ackoliv mu tyto vynalezy zlskaly povest nadlidske moudro-sti, nepripustil, aby po nem zustalo nejake psane dllo o techto otśzkach; avsak protoże povażoval prficu v mechanice a każdy druh cinnosti, kter^ byl zameren k użivśni a użitku, za po-niżujici a §pinavy, zameril svou ctiżadost na takove uvahy, jejichż krśsa a diivtip nebyly dotceny primesi obycejnych żivotnich potreb."

Nejvyznamnejsi matematicky Archimeduv prlnos patrl do oblasti, kterou nyni nazyvame integralnlm poctem; jsou to vety o obsahu rovinnych utvaru a o objemu pros-torovych teles. Ve svem Merem kruhu nalezl aproximaci obvodu kruhu vepsanymi a opsanymi pravidelnymi mno-houhelniky. Kdyż svou aproximaci rozslril aż k mnoho-uhelnlku o 96 stranach, nalezl (v dneśnl symbolice):

m    ²⁸⁴ —

3f < 3 -\-

2018^

< 3

284 —

_ i

2017 -j-

< n <

U

667 -i-    667 i-

< 3--*— < 3 -1

4673    4672 Tr

coż se obvykle vyjadruje tvrzenim, że ~ se pribliżne rovna 1

3—. V Archimedove knize Koule a valec nalezneme vy-7

razy pro povrch koule (v te formę, źe povrch koule je rovny ctyrnasobku płochy hlavni krużnice) a pro objem

2

koule (v te formę, źe tento objem se rovnd — objemu

¹¹ 3,1409 < II < 3,1429. Aritmeticky stred horni a dolni limity davś II = 3,1419. Spravna hodnota je 3,14159 ...

51