Struik 082

nost, kterou by drivejsi matematici ve sve definici funkce nepripustili. Pojem funkce se zacal rychle osvobozovat od Eulerova „curva quaecunque libero manus duetu des-cripta“¹. Ve svych prednaśkach podał Riemann priklad spojite funkce bez derivace; priklad takove funkce, ktery Weierstrass naznacil, byl uverejnen aż v roce 1875. Vime v§ak, że k tomuto vysledku dospll uż Bernard' Bolzano. Matematikove se vsak velmi vażne zdrśhali uznavat ta-kove funkce a nazyvali je „patologickymi"; modern! analyza dokśzala, jak prirozene jsou takove funkce a jak zde Riemann opet zautocil na zakladni problemy mate-matiky.

Druha Riemannova prace z roku 1854 zpracovśva hy-potezy, na kterych spoć!vaj! zakłady geometrie. Prostor chśpe Riemann jako topologickou mnożinu libovolne dimenze; v takove mnożine je definovana metrika pomoci kvadraticke diferenciślni formy. Zatimco v analyze de-finoval Riemann komplexni funkci jejim lokślnim cho-vanim, definuje v teto prąci stejnym zpusobem charakter prostoru. Riemannovi umożnil jednotici princip nejen klasifikovat vsechny dosavadni formy geometrie, mezi neż zahrnul tehdy jeste velmi nepresne formulovane neeuklidovske geometrie, nybrż mu dovolil take vytvo-reni libovolneho poctu novych typu prostoru, z nichż se mnohe od te doby użitecne uplatnily v geometrii a ma-tematicke fyzice. Riemann uverejnil svou prąci bez ja-kehokoliv analytickeho aparatu, cim se ztiżilo sledovani jeho myilenek. Pozdeji se objevily nektere z jeho formuli v roce 1861 ve spisę o rozłożeni tepla v pevnem telese, zaslanem pariżske akademii. V nem je nacrt teorie transformaci kvadratickych forem.

Poslednś prSce Riemannova (1859), o ktere se musi-me zminit, je venovśna otśzce poctu prvocisel F(x), kte-rś jsou mensi neż dane cislo x. Riemann zde aplikuje teorii komplexnich cisel na problem rozłożeni prvocisel a zkoumS Gaussovu domnenku, że funkce F(x) by mohla

*

byt aproximovśna „integrśl logaritmem" J(logf)^_1df.

2

Tato prśce je proslula tim, że obsahuje tzv. Riemannovu

domnenku, że Eulerova zeta-funkce £(s) — toto oznaćeni pochśzi rovnśż od Riemanna — uvażujeme-li pro kompani hodnoty s = x + iy, mś vsechna nereślnd nulova 1

mista na primce x = —. Tato domnenka nebyla dodnes 2

ani dokśzśna, ani vyvrścena².

15. Riemannovo pojeti funkce jedne komplexni promen-nś było dasto srovnivśno s pojetim Weierstrassovym. Karl Weierstrass byl mnoho let ucitelem na jednom pruskem gymnasiu; roku 1856 se stal profesorem mate-matiky na berlinske universite, kde pusobil tricet let. Jeho vźdy peclive pripravene prednasky se tesily vzru-stajici proslulosti; hlavn§ temito prednaskami se stały Weierstrassovy myslenky vseobecne znamymi.

V dobę sveho ucitelovSni na gymnasiu napsal Weierstrass nekolik prąci o hypereliptickych integrńlech, AbeIovych. funkcich a algebraickych diferencidlnich rovni-cich. Jeho vysledek, ktery se stal nejznśmejśim, je zdu-vodneni teorie komplexnich funkci metodou mocninnych rad. Byl to v jistśm smyslu navrat k Lagrangeovi, ovsem s tim rozdilem, źe Weierstrass -pracoval v komplexni rovine a s dokonalou presnosti. Hodnoty mocninne rady uvnitr jejiho konvergencniho kruhu predstavuji „funk-cionalni prvek“, ktery se pak (pokud je to możni) roz-siruje tzv. analytickym pokracovdnim. Weierstrass stu-doval żylaste cełistve funkce a ty funkce, ktere jsou definovany nekonecnymi souciny. Jeho eliptickś funkce P(u) se stała prave tak zakladni funkci, jako drive Jacobiho funkce sn u, cn u, dn u.

Weierstrassuv vehlas se opiral o jeho nesmirni pe51ive uvahy, o „weierstrassoyskou presnost", kterś se proje-vovala nejen v jeho teorii funkci, nybrż take v jeho yysledcich variacniho poctu. Plne objaśnił pójmy minima, funkce a derivace, a tim odstranil jeste zbyyajici ne-presnosti ve yyjadreni zśkladnich pojmu infinitesimdlni-ho poctu. V matematice byl neobyiejne syedomity jak

169

1

Krivka, kterou lze opsat volne vedenou rukou. Srv. Insti-tutiones calculi integralis III. § 301.

2

R. Courant, Bernhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre, Naturwissenschaften 14, 1926, 813— 818.