img369 (3)

f{x_vx ₂) =

Najczęściej przy przyjętych tu założeniach „(w = 0 oraz v_x = v₂ = 0) uzyskuje się rozwiązanie optymalne. Jednak dla upewnienia się, czy jest ono rzeczywiście rozwiązaniem najlepszym, należałoby zbadać wszystkie (wyszczególnione dla tego przykładu wyżej przypadki) dające

X w A = o

i = 1

oraz

t ^vj^xj =⁰

j=i

i z ich rozwiązań wybrać to, dła którego funkcja celu przyjmuje wartość ekstremalną.

Trudności rachunkowe znacznie się zwiększają, gdy w modelu wystąpi jeszcze choćby jedna zmienna decyzyjna lub jeszcze jeden warunek ograniczający.

Pytania i problemy

1.    Podać ogólną postać zadania programowania nieliniowego.

2.    Omówić program nieliniowy o postaci standardowej oraz metodę jego rozwiązywania.

3.    Przedyskutować warunki Kuhna -Tuckera dla programu nieliniowego o postaci standardowej w porównaniu z metodą mnożników Lagrange’a.

4.    Podać przykłady zagadnień, do których rozwiązywania stosuje się metody programowania nieliniowego.

5.    Czy ekstremum bezwarunkowe funkcji / danej wzorem:

f(x) = x\— 2x₁x₂ + 3*2 + 16*! — 24jc₂ + 12 -> min spełnia warunek: x_l + x₂ = 8?

Zadania

150. Przedsiębiorstwo przemysłowe korzysta z dwóch bocznic: własnej i PKP. Koszty (w tys. zł) związane z postojem wagonów wyraża następująca funkcja:

j f(t 1,^2) ⁼ 0)25fi + 3+ 0,5f| + 41₂,

gdzie t j jest czasem trwania wyładunku na bocznicy własnej, a t₂ - czasem trwania wyładunku na bocznicy PKP.

Pociągi towarowe wożące surowce do przedsiębiorstwa mają w swym składzie 100 wagonów. Dzienna zdolność przeładunkowa bocznicy własnej wynosi 10 wagonów, a bocznicy PKP - 20 wagonów.

1.    Jak należy rozdzielić wagony między obie bocznice, aby koszt związany z postojowym był możliwie najniższy?

2.    Ile dni wobec tego będzie trwał wyładunek na bocznicy własnej, a ile na bocznicy PKP?

3. Podać koszt postojowego przy optymalnym rozłożeniu wagonów między obie bocznice. Zakładamy, że z wyładowanych wagonów formuje się skład pociągu, który może odejść dopiero wtedy, gdy wszystkie wagony są opróżnione. Tym samym postojowe liczy się do momentu wyładunku ostatniego z wagonów na każdej z bocznic.

151.    Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie tak, aby dzienne koszty zużycia paliwa (w tys. zł) opisane funkcją:

f(x i,x₂) = 2(x₁ —1)² + (x₂-3)²,

gdzie x₁ jest zużyciem paliwa w elektrowni I, a x₂ - zużyciem paliwa w elektrowni II, były możliwie najniższe. Wiadomo ponadto, że z 1 t paliwa w elektrowni I uzyskuje się 5 MWh energii, a w elektrowni II - 3 MWh. Podać dzienne koszty zużycia paliwa w tych elektrowniach.

152.    Dwie cukrownie prowadzą kampanię cukrowniczą mając za zadanie przerobienie łącznie 29 760 t buraków. Dzienny przerób pierwszej cukrowni wynosi 120, a drugiej 180 t buraków. Wiadomo, że w trakcie kampanii cukrowniczej powstają straty cukru zależne od czasu składowania buraków. Można je opisać następującą funkcją:

f{t₁,t₂) ⁼ 0»6t² +121₁ + 0,3/₂ T 9?₂,

gdzie ^ jest czasem trwania kampanii w cukrowni pierwszej, a t₂ - czasem trwania kampanii w cukrowni drugiej.

1.    Jak długo powinna trwać kampania cukrownicza w każdej z cukrowni, aby straty cukru były najmniejsze?

2.    W jaki sposób optymalnie rozdzielić owe 29760 t buraków między cukrownie?

153.    Przedsiębiorstwo produkuje dwa wypełniacze na wydziałach produkcji pomocniczej. Produkcja ta przeznaczona jest dla własnych potrzeb. Wypełniacze wytwarzane są w brykietach, odpowiednio, jedno- i dwukilogramowych. Oszacowana funkcja kosztów produkcji obu wypełniaczy ma postać:

f(x₁,x₂) = 0,25xf + l,5x_l+0,5x₂ + x₂,

gdzie Jt, jest liczbą brykietów wypełniacza I, a x₂ liczbą brykietów wypełniacza^ II.

Przedsiębiorstwo zużywa w procesie produkcji 1000 kg wypełniaczy.

Jaka powinna być wielkość produkcji obu wypełniaczy przy minimalnych kosztach produkcji?

154.    Dwie olejarnie o zdolnościach przerobowych 10 t i 15 t ziarna dziennie mają przerobić 1800 t ziarna na olej. Straty oleju w ziarnie zależą od czasu składowania (oczekiwania na przerób), jak również od stosowanych procesów technologicznych uzysku oleju z surowca. Funkcja łącznych strat oleju w ziarnie (w kg) dla obydwu olejami dana jest wzorem:

195