skrypt

WSTĘr _____________Wstęp

WSTĘr _____________Wstęp

12

63, 65). z wykorzystaniem teorii systemów nieliniowych klasy Volterry -Wienern |4T|

Ważny dS zagadnieniem związanym z cyfrową filtracją ortogonalną jest problem interpolacyjny Nevanlinny-Picka. Rozwiązanie lego problemu zaproponowano w pracach Dewilde'a i Dyma [I2. I7, 16). Piekarskiego i Uruskicgo | w. 40], Delsarte’a. Genina i Karnpa [31.

Opracowanie algorytmów adaptacyjnych [7. 4. 351 umożliwiło realizację prak tyczną metod ortogonalnej filtracji cyfrowej szeregów czasowych. Interesujący przegląd zagadnień cyfrowej filtracji adaptacyjnej został zamieszczony w książ cc |42).

Modulnmość algorytmów cyfrowej filtracji ortogonalnej umożliwiła zaproponowanie równoległych i potokowych struktur realizowanych w technologii układów VL.SI [34. 33).

Celem niniejszej książki jest zapoznanie Czytelnika z podstawami teorii, algorytmami i zastosowaniami liniowej cyfrowej filtracji ortogonalnej sygnałów losowych drugiego rzędu. Treść książki obejmuje systematyczną prezentacje tej problematyki, począwszy od liniowej prognozy średniokwadralowej. poprzez filtrację innowacyjną, modelowanie stochastyczne, filtrację odszuimającą, a skończywszy na algorytmach cyfrowej ortogonalnej filtracji adaptacyjnej sze regów czasowych i ich implementacjach.

Rozdział 2 został poświęcony zagadnieniu liniowej prognozy średniokwadrato-wej stacjonarnych sygnałów losowych drugiego rzędu Problem ten został sfor mulowany algebraicznie oraz geometrycznie w trzech przestrzeniach Hilberta zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem po przestrzeni probabilistycznej 11 względem miary prawdopodobieństwa_fi. /.₂(T) wielomianów zmiennej zespolonej z całkowalnych z. kwadratem na okręgu jednostkowym względem miary spektralnej sygnału oraz w przestrzeni f₂ ciągów sumo-walnych z kwadratem. Pokazano izomorfizm tych przestrzeni, umożliwiający traktowanie w sposób równoważny zagadnienia wyznaczenia optymalnego estymatora prognozy (w pierwszej przestrzeni I. transnutancji optymalnego filtru prognozującego (w drugiej przestrzeni) oraz. odpowiedzi impulsowej lego filtru (w przestrzeni trzeciej). W dalszej części tego rozdziału zaprezentowano re-kurencyjne metody (algebraiczne i geometryczne) rozwiązania problemu liniowej prognozy średniokwadralowej. Na wstępie przedstawiono algorytm Levin-sona (również w wersji unormowanej) i pokazano wynikającą z tego algory tmu faktoryzację Choleskiego macierzy kowariancyjncj Toeplitza stacjonarnego sygnału drugiego rzędu, jak również macierzy odwrotnej względem tej macierzy.

Omówiono także związek algorytmu Leviusona z zagadnieniem wybielania sygnału drugiego rzędu W dalszym ciągu wyprowadzono wersję algebraiczną algorytmu Schtira i omówiono jego właściwości, wskazując, że jest to algorytm numerycznie lepszy od algorytmu Leviusona. Następnie przedstawiono rcku-rcncyjne rozwiązania geometryczne omawianego zagadnienia w trzech wpro wndzonych w rozdziale 2 przestrzeniach Przedstawiono ortogonalną reprezen tację estymatora prognozy średniokwadralowej, a następnie - trnnsmitancji i odpowiedzi impulsowej optymalnego filtru prognozującego. Wykazano, że w każdym z rozważanych rozwiązań kluczowe jest wyznaczenie współczynników Scliura rozważanego sygnału, stanowiących jednocześnie rozwiązanie zagadnienia ortogonalnej jego parametryzacji.

Przedmiotem rozdziału 3 są realizacje algorytmów prognozy optymalnej w postaci optymalnego filtru prognozująccgofparainclryzującego) sygnał. Wykorzystując wyniki zamieszczone w rozdziale 2. przedstawiono grafy przepływowe pojedynczych sekcji filtru, pokazano -/-ortogonalną realizację kaskadową tego filtru, prowadzącą do również/-ortogonalnej realizacji globalnej, i omówiono ich właściwości.

w rozdziale 4 omówiono jedne z najistotniejszych zastosowań otrzymanych uprzednio algorytmicznych rozwiązań problemu prognozy, a mianowicie - zagadnienie filtracji innowacyjnej (parametryzacji ortogonalnej) stacjonarnego sy gnalu losowego drugiego rzędu oraz zagadnienie modelowania stochastycznego (cyfrowej syntezy) takiego sygnału, jako prohlemu odwrotnego Wykorzystując opis realizacji globalnej optymalnego filtru prognozującego za pomocą łańcuchowej macierzy rozproszenia oraz macierzy rozproszenia, wykazano, że ortogonalną realizację filtru modelującego o transmitancji A,;¹ (jako filtru odwrotnego względem filtru innowacyjnego o transmitancji A_p) można otrzymać na drodze zamiany kierunku przepływu sygnałów w górnej gałęzi czwórnika opisującego /-ortogonalną realizację globalną filtru innowacyjnego Rezultat ten pokazano dla dwóch warunków brzegowych: dopasowania i całkowitego odbicia na wejściu czwórnika Następnie, opierając się na algorytmie pojedynczej sekcji /-ortogonalnej filtru innowacyjnego, wyprowadzono algorytm pojedynczej sekcji ortogonalnej filtru modeluiącego Pokazano realizację kaskadową tego filtru i omówiono jej właściwości. Przedstawiono interpretację sekcji filtru innowacyjnego za pomocą rotorów hiperbolicznycli. oraz interpretację sekcji filtru modelującego za pomocą rotorów kołowych, wykazując jego bezslrat ność implikującą samorzutną stabilność numeryczną lako podsumowanie wyników przedstawionych w tym rozdziale, omówiono ideę cyfrowej transmisji sygnałów drugiego rzędu metodą liniowego kodowania prognozującego, opartą na parametryzacji Schura sygnału po stronie nadawczej, transmisji w kanale

13

Wstęp

Wstęp

współczynników Schura i cyfrowej syntezie sygnału tze względu na statystyki drugiego rzędu) po stronie odbiorczej.

W rozdziale 5 zostało rozważone zagadnienie średniokwadralowej liniowej cyfrowej filtracji odszutniającej stacjonarnych sygnałów drugiego rzędu Za gadnieitie to zostało sformułowane algebraicznie i geometrycznie Następnie przedstaw iono rekurencyjne rozwiązanie geometryczne, oparte na obserwacji, iż zbiór błędów prognozy w tyl (wyznaczany przez algorytm filtru innowacyjnego) stanowi bazę ortonormalną przestrzeni estyinacyjnei Otrzymano ortogonalne rozwinięcie estymatora sygnału odszumionego i pokazano ortogonalną realizację optymalnego filtru odszumiającego. wykorzystującą filtr innowacyjny jako podsystem generujący bazę ortonormalną.

Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniu cyfrowej filtracji adaptacyjnej sze regów czasowych drugiego rzędu. Przedstawiono w nint algorytmy ortogonalnej parametryzacji adaptacyjnej (filtracji innowacyjnej) i modelowania stochastycznego (cyfrowej syntezy) szeregów czasowych, z uaktualnianiem w czasie współczynników Schura, działające bezpośrednio na próbkach sygnału i pro wadzące do rozwiązań optymalnych (średniokwadratowo) dla każdego naboru próbek, a - tym samym - zapewniające bardzo szybką zbieżność Pr/edsta-wiono wynikające z tych algorytmów struktury adaptacyjnego filtru innowacyjnego i modelującego oraz szczegółowo omówiono działanie tych filtrów W dal szej części rozdziału zaprezentowano adaptacyjny algorytm ląc/.nej estymacji średniokwadralowej dwóch statystycznie ze sobą związanych szeregów czasowych i wynikający z niego ortogonalny filtr eslymacyjny, działający bezpośrednio na próbkach sygnałów i umożliwiający liczne zastosowania praktyczne (np. do adaptacyjnego odszumiania szeregów czasowych).

W rozdziale 7 zamieszczono implementacje przedstawionych w książce algo-rytmów cyfrowej filtracji ortogonalnej w środowisku MAI I AB 4.2. Działanie tych algorytmów zostało zaprezentowane przy wykorzystaniu dziesięciu przykładów ilustrujących kolejne zagadnienia omówione w książce Zamieszczono lani również, przykładowe wyniki symulacji komputerowych. We wspomnia nycli przykładach wykorzystano zaimplementowane w postaci m-plików algorytmy cyfrowej filtracji ortogonalnej (oraz algorytmy pomocnicze) Postaci źródłowe tych m-plików zamieszczono w końcowej części rozdziału. Dla zainteresowanych Czytelników są one również dostępne na stronie internetowej: http://wwtv.ita.pwr.wroc.pl/ztsila.

Książka powstała jako podsumowanie wykładów, prowadzonych przez autora w latach 1980— 1997 na Wydziale Elektroniki Politechniki Wrocławskiej lest ona przeznaczona - przede wszystkim - jako podręcznik dla studentów wyższych lat Wydziałów Elektroniki, ze szczególnym uwzględnieniem kierunku Elektronika i Telekomunikacja, jak również dla doktorantów oraz inżynierów specjalizujących się w zagadnieniach cyfrowej filtracji optymalnej i ich zastosowaniach w dziedzinach elektroniki, telekomunikacji, automatyki, robotyki, bioinżynierii.

Od Czytelnika wymaga się znajomości podstaw rachunku prawdopodobieństwa, elementów statystyki matematycznej, algebry liniowej, analizy funk cjonalnej. teorii sygnałów losowych oraz teorii obwodów w takim zakresie, w jakim przedmioty te wykłada się w uczelniach technicznych.

Autor pragnie wyrazić podziękowanie prof. dr. hab. inż. Marianowi Piekarskiemu i prof. dr. hab inż. Andrzejowi Wojtkiewiczowi za cenne uwagi i sugestie, które starał się uwzględnić przygotowując tę książkę do druku i które w istotny sposób przyczyniły się do podniesienia jej wartości.

Wrocław, marzec I998 r.

Autor

14