str240

240

4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

S 8. ROZ

w przedziale niewłaściwym (—oo, oo) jest funkcja

\

(7.4) u(x,t) = ie    l(p(x + at) + <p(x — at) +

-I-At

x + al

1 j _1q(±    [pę (O + ^ (f)] dl +

x-at

f ,

J VaV-(<j;-jc)²    )

Definicja 4. Normą ciąj

(8.2)

Definicja 5. Uogólnionyi wraz z kwadratem w prze nazywamy szereg

(8.3)

gdzie

gdzie

(7.5)

1

a    A =

|LG —i?C|

LG + RC

2LC

i

exp(z sin <p) d<p -i*

jest zmodyfikowaną funkcją Bessela rzędu zerowego.

(7.6)

LC

/o(z)

i*

41

2 LC ’

§ 8. Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych

metodą rozdzielania zmiennych oraz przekształceń Laplace’a

Metoda rozdzielania zmiennych zwana również metodą Fouriera polega na poszukiwaniu funkcji spełniającej równanie różniczkowe cząstkowe w postaci iloczynu funkcji, z których każda jest funkcją jednej zmiennej niezależnej i tylko jednej zmiennej, lub sumy wymienionych iloczynów. Zazwyczaj otrzymujemy nieskończony ciąg funkcyjny, którego elementami są wymienione wyżej rozwiązania np.:

u„(x,t) = X„(x)T„(t),

"mnk(x, y, Z, 0 = X_m(x) Y_n(y) Z_k(z) T_mnk(t).

Definicja 1. Elementy ciągu funkcji jednej zmiennej wchodzące do wyżej omawianych rozwiązań nazywamy funkcjami własnymi.

Definicja 2. Mówimy, że ciąg (y„(.v)} funkcji całkowalnych z kwadratem w przedziale (a, b) jest ciągiem ortogonalnym w tym przedziale, jeżeli

(S.l)

\Xfx)X_m(x)dx =

a

1°

(4>0

dla    n =£ m,

dla    n — m.

Definicja 3. Mówimy, że X_n(x) jest ciągiem ortogonalnym unormowanym w przedziale (a, b), jeżeli spełniony jest warunek (8.1), przy czym A = 1.

(8.4)

Własność 1. Funkcja f(x spełnia następujące warunki

1)    /(*) jest funkcją prze,

2)    w punktach nieciąglośi granic lewo- i prawostronnej

3)    na krańcach przedziali tycznej granic prawostronnej

Definicja 6. Mówimy, że jeżeli

(8.5)    R(x)2

a

Definicja 7. Mówimy, że wany, jeżeli spełniony jest w

ł

Definicja 8. Normą cią, dziale (a, b) nazywamy wyr;

(8.6)

Definicja 9. Uogólnionym wraz z kwadratem w przed z wagą q(x) nazywamy szer

(8.7) gdzie

(8.8)

16 — Wybrane działy matematyki..

I