img466 (3)

w każdym punkcie przedziału (a, Ib)). Spełnia zatem założenia twierdzenia La-grange’a, na mocy którego stwierdzamy, że istnieje takie c e (x_t, x₂), dla którego

/(x₂) =/(* 1) +/'(c) ■ (x₂-x₁).

Ale w każdym punkcie przedziału (o, b), a więc tym bardziej przedziału (x,, x₂) pochodna funkcji jest równa zeru, skąd wynika, że musi być też /'(c) = 0, zatem /(x₂) = /(*i). Wobec tego, że argumenty x^ i x₂ były dowolnie wybrane, oznacza to, że funkcja /(x) jest stała w przedziale (a, b). Otrzymaliśmy zatem:

WNIOSEK

Jeżeli funkcja / jest różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b) oraz dla każdego x e (o, b) mamy f'(x) = O, to funkcja / jest stała w przedziale (a, b).

Aby wyciągnąć dalsze wnioski z twierdzenia Lagrange’a, przyjrzyjmy się narysowanym na następnej stronie parom wykresów.

W każdej parze mamy po prawej stronie wykres pewnej funkcji, a po lewej stronie - wykres pochodnej tej funkcji. Postaraj się wyznaczyć przedziały, w których pochodna jest dodatnia. Następnie zastanów się, co można powiedzieć o mo-notoniczności odpowiadającej jej funkcji w tych przedziałach. Przeprowadź podobne rozumowanie dla przedziałów, w których pochodna jest ujemna.

Zastanówmy się, co się stanie, jeśli warunek f'(x) = O w ostatnim wniosku zastąpimy warunkiem: f'(x) > O (dla każdego x e (o, b)). Możemy teraz przeprowadzić analogiczne rozumowanie do tego, które doprowadziło nas do tezy ostatniego wniosku. Tym razem /'(c)>0. Ponadto nadal x₁<x₂, czyli /' (c) • (x₂ - X-,) > 0, skąd bezpośrednio wynika, że

/(*1) </(*!) +/'(C) • (*2-Xi) =/(*₂).

Tak więc dla dowolnych X-,, x₂ e (a, b) z nierówności x■, < x₂ wynika nierówność /(x0 </(x₂).

WNIOSEK

Jeżeli funkcja / jest różniczkował na w przedziale otwartym (o, b) oraz dla każdego x e (a, b) mamy /'(x) > 0, to funkcja / jest rosnąca w przedziale (a, b).

Zauważ, że twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja /(x) = x³ jest różniczkowalna w przedziale (-00, +00) i jest tam rosnąca. Natomiast jej pochodna jest równa zeru w punkcie x₀ = O, a więc nie jest dodatnia w przedziale (-00, +00).

Można natomiast udowodnić, że prawdziwe jest następujące twierdzenie: