Image40 (20)

78

2.13. Z rysunku 20 wynika, że warunkiem spoczynku punktu jest

Rys.20

mg sina

mgf cosa

Stąd w przypadku granicznym

tga = /.

Maksymalna wysokość, na której punkt będzie pozostawał w spoczynku

h_m = y(x„) = ax„²; x_a znajdujemy z warunku

tga =

ty

dx

=

X = X

skąd

=

/

2a

i ostatecznie

h =

m

/²

4n

2.14. Uwzględniając oznaczenia przyjęte na rys.21 oraz prawo Archimedesa, mamy

Rys.21

R

W = \ F_v dy =

- V(y) pg) dy,

R

gdzie G jest ciężarem kuli, a V (y) oznacza zmieniającą się objętość tej części kuli, która jest zanurzona w cieczy. Objętość ta jest funkcją współrzędnej y, określającej poziom cieczy względem układu odniesienia związanego ze środkiem kuli i można

ją wyrazie wzorei

(x² wyznaczyliśmy z równania okręgu x² 4- u² = i?²).

Podstawiając otrzymane wyrażenie na V(y) do wzoru na pracę, znajdujemy

Z treści zadania wie

y, że

G =

(warunek pływania), zatem szukaną pracę możemy wyrazić wzorem

W =

5

12

npgR⁴.

2.15. Korzystając z wyprowadzonego w poprzednim zadaniu wzoru na zmieniającą się objętość części kuli zanurzonej w cieczy, mamy

W =

F_v dy =

—i?

jR

[G - V(y) yj dy =

\    (2y*

- yJ.

gdzie y jest ciężarem właściwym wody.

wiążemy ze środkiem masy

2.16. Prostokątny układ współrzędnych (ciężkości) walca (rys.22)

a. Początkową wysokość części zanurzonej walca h znajdujemy z warunku pływania:	~7 H	S-	0
			A
Shy„ = SHyd,	J5	J§	ĆZZZZZ.	'7T/Z72

gdzie y_w jest ciężarem właściwym wody Stąd

Rys.22

y_d

h = H

y W