Image40

78

2.13. Z rysunku 20 wynika, że warunkiem spoczynku punktu jest

mg sina

mgf cosa

Stąd w przypadku granicznym

tga = /.

Maksymalna wysokość, na której punkt będzie pozostawał w spoczynku

K = y(x„) = ax];

x_Q znajdujemy z warunku

tga

dy

dx

= 2ax_n,

X- X

skąd

/

2a

i ostatecznie

=

m

/²

4a

2.14. Uwzględniając oznaczenia przyjęte na rys.21 oraz prawo Archimedesa, mamy

Rys.21

W = F_v dy =

- V{y) pg) dy,

R

gdzie G jest ciężarem kuli, a V (y) oznacza zmieniającą się objętość tej części kuli, która jest zanurzona w cieczy. Objętość ta jest funkcją współrzędnej y, określającej poziom cieczy względem układu odniesienia związanego ze środkiem kuli i można

• f

ją wyrazie wzorem:

(x² wyznaczyliśmy z równania okręgu x² Podstawiając otrzymane wyrażenie na

+ u² = R²).

V(y) do wzoru na pracę, znajdujemy

R

V (y) — nJ* x²du

y

npgR*.

Z treści zadania wie

y, że

G =

(warunek pływania), zatem szukaną pracę możemy wyrazić wzorem

W =

5

12

npgR⁴.

2.15. Korzystając z wyprowadzonego w poprzednim zadaniu wzoru na zmieniającą się objętość części kuli zanurzonej w cieczy, mamy

R

W =

F_v dy =

-R

R

[G - V(y) yj dy =

-R

- yJ.

gdzie y_w jest ciężarem właściwym wody.

wiążemy ze środkiem masy

K-	0
	./A.

Rys.22

2.16. Prostokątny układ współrzędnych (ciężkości) walca (rys.22)

a. Początkową wysokość części zanurzonej walca h znajdujemy z warunku pływania:

Shy_w = SHy_d,

wody

gdzie y_w jest ciężarem właściwy Stąd

h = H

y W