img066

66

Stęd wynika, że iloraz różnicowy

f'x- - *iC)

X - C

jest niedodetni dla x>c oraz nieujemny dla x<c, a to implikuj© f'Cc) > 0 co należało udowodnić.

Przykład    —_r

Funkcja f:    3x-*l - x² Jes^t ciągła w przedziale 4-l,l>

oraz f(-l) ■ f(l) * O, ala « przedziale    nic raa takiego punktu

C, w którym f^#(c) * O. Nie jest to jednak sprzeczne z twierdzeniem Roli©'a, ponieważ zadana funkcja nie jeat różniczkowaIna w punkcie x * 0.

Lemat 2 (twierdzenie o wartości średniej Lagrange'a ;* Oeśli funkcj3 ft <8,b> —► R Jest cięgła w <a,b> i różniczkowalna wewnętrz tego przedziału, to istnieje taki punkt cc(a.b), w którym

f(b)

F

f(a)

8

• f^#(«)

Dowód. Oznaczmy przez F funkcję rzeczywisty określony nastę-pujęcym wzorem*

F{.) . f(b) - f(x) -    (b - x)

Łatwo sprawdzić, te F spełnia założenia twierdzenia Rolle'o, a zatem Istnieje punkt cc(a,b), w którym

F'(c)

fVc)

₊ f(b) - f(a)

o - a

0

Styd otrzymujemy co należało udowodnić.

Przykład.

Funkcja f określona wzorem

f'x) -

x dla 0 dla

xc <0.1-x _a 1

Joseph Louis Upranie (25 1 1736 - 10 IV 1813) - r.;atouiatyk francuski _r któryoprBTowFł^FIp te v o we pojęcia rachunku wariacyjnego, podał x©tod<* rozwiązywania problemów wariacyjnych oraz rozszerzył podstawy statystyki i mechaniki. Napisał wiele rozpraw dotyczących równań różniczkowych, analizy matematycznej, teorii liczb, algebry, interpolacji, kartografii ma tema ty czne j i astronomii. Broi czynny udział w ko.oisji opracowującej wybór nowej jednostki długości (netr) i oparty no riej układ nerryczny. Metoda mnożników stosowana v zadaniach na okotrer.uru warunkowe byłe przed®tewicna przez Lagrenę© 'n v 1797 roku.