Obraz
0 (170)

Znaczenie zdefiniowanego terminu wykracza daleko poza to, co przedstawia definicja. Definiowanie - to wybór cech konstytutywnych obiektu wśród wielu jego cech, to wybór warunków koniecznych i wystarczających w danym systemie dla obiektu oznaczonego zdefiniowanym terminem.

Są to oczywiście uwagi banalne. Pozwalam sobie jednak je przytoczyć, ponieważ chciałabym podkreślić bogactwo procedur intelektualnych, które można prowokować również u uczniów i które często zaniedbuje się w praktyce szkolnej, ponieważ tradycyjnie definicje są narzucane przez nauczyciela i podręcznik w gotowym sformułowaniu.

Niemniej jednak obserwowaliśmy proces definiowania w niektórych przypadkach na różnych poziomach szkoły, w charakterystycznych jego etapach: 1° uchwycenie idei pojęcia w toku pracy w klasie (np. rozwiązywanie problemu, materialna konstrukcja, klasyfikacja, obserwacja itp.), 2° termin wprowadzony przez nauczyciela jako nazwa przyjęta w matematyce, 3° próby podejmowane przez uczniów, ukierunkowane na ustalenie i przekazanie znaczenia tego terminu. Ten ostatni etap rozwija się na różnych poziomach szkoły rozmaicie. U uczniów młodszych obserwujemy posługiwanie się językiem pokazu i stosunków aż do sformułowania definicji włączonej do własnej matematyki na podstawie ostatecznego uzgodnienia tekstu. Starsi, bardziej oswojeni z kontekstem formalnym, przechodzą od razu do tego ostatniego etapu. W każdym z przypadków obserwujemy proces pewnej konkretyzacji idei, obrazów, intuicji.

Droga odwrotna, skierowana do uświadomienia sobie obiektu definiowanego za pomocą definicji werbalnej lub symbolicznej, z góry danej, stoi także otworem dla aktywności matematycznej bardzo bogatej, w której na poziomie szkolnym fundamentalną rolę odgrywa odformalizowanie werbalnego lub symbolicznego tekstu przez konstrukcję przykładów i kontr-przykładów. Czas nie pozwala mi zatrzymać się dłużej przy tym ważnym z punktu widzenia dydaktyki temacie. Poprzestaję tylko na jego zasygnalizowaniu.

Poprawne stosowanie definicji w toku matematycznego rozumowania wymaga koordynacji dwóch aktywności, w pewnym sensie przeciwstawnych. Z jednej strony posługujemy się intuicyjną wiedzą i obrazami związanymi ze zdefiniowanym obiektem, które szeroko wykraczają poza to, co bezpośrednio podaje tekst definicji, z drugiej trzeba uznać formalne wymagania systemu, a więc w toku rozumowania zachować to, co się nazywa disciplina mentis i ograniczyć się do formalnych konsekwencji przyjętej definicji. Ta koordynacja może i powinna być rozwijana krok za kro-Jciem, stopniowo, także na poziomie szkolnym. Niebezpieczne jest natomiast narzucanie zbyt wczesne tej disciplinae mentis więzów niezrozumiałego formalizmu.

DEDUKO WACI RED U KO W A Ć

Tradycyjna dydaktyka traktowała tę aktywność jako najbardziej charakterystyczną dla matematycznej myśli i wprowadzenie ucznia w ścisłą dedukcję jako pierwszy cel matematycznego kształcenia. Dziś nie podzielamy tego naiwnego poglądu, gdyż aktywność matematyczna nie redukuje się do łańcuchów inferencji. Niemniej jest prawdą, że sama natura matematycznych obiektów, abstrakcyjnych struktur, jest tego rodzaju, że dedukcja odgrywa zasadniczą rolę zarówno w aktywności badawczej, jak i w końcowej weryfikacji wyników badania. Jeżeli uczeń nie rozumie tego naturalnego charakteru dedukcji w matematyce, metoda, którą jest zobowiązany stosować, staje się dla niego pancerzem sztucznego formalizmu; równocześnie droga do zdegenerowanego formalizmu staje się dlań otwarta. Dlatego koniecznie potrzebne wprowadzenie w rozumowanie dedukcyjne wiąże się z subtelnymi problemami dydaktyki, wymagającymi jeszcze głębokich studiów.

Dedukcji przeciwstawia się często redukcję. W pierwszym przypadku szuka się warunków koniecznych, w drugim - wystarczających. W toku rozwiązywania problemu, w toku poszukiwania dowodu, w toku wstępnego penetrowania jakiejś dziedziny, postępuje się naprzód zarówno krokami dedukcyjnymi jak redukcyjnymi. Ale redukcja zawiera także kroki dedukcyjne; aby być pewnym, że jeden warunek jest wystarczający dla innego, trzeba ostatecznie odwołać się do łańcucha inferencji. Wprowadzenie w tę grę dedukcji i redukcji powinno znaleźć odpowiednio ważne miejsce w matematycznej edukacji dla wszystkich.

W praktyce matematycznej dedukcja nigdy nie jest formalnie czysta. W nauczaniu szkolnym wymogi stawiane ścisłości w dedukcji są naturalnie jeszcze bardziej luźne i dostosowane do poziomu nauczania. Ale mimo tych rozluźnień w łańcuchach inferencji, mimo pewnych aktów globalnego Wnioskowania, nie powinno się fałszować dedukcji nawet na poziomie

185