Obraz0 (100)

zbiorze funkcji pierwotnych poznaje uczeń później, gdy rachunek pochodnych jest już bardziej rozwinięty).

Udowodniono w klasie twierdzenie: przekształcenie płaszczyzny jest podobieństwem wtedy i tylko wtedy, gdy jest złożeniem odpowiednio dobranej izometrii z odpowiednio dobraną jednokładnością. Bezpośrednio potem uczniowie wykonują ćwiczenia konstrukcyjne - rysunkowe w różnych kierunkach, na przykład: a) zbuduj figurę podobną do danej figury, b) udowodnij, że dane dwie figury są podobne, c) figura / jest utworzona z wszystkich punktów figury / i z punktu 0\ figura/ jest podobna do/. Uzupełnij ją takim punktem 0\ aby było:

W pierwszym przypadku uczeń wybiera dowolnie jednokładność i izometrię i przekształca pierwszą figurę/przez złożenie tych dwóch przekształceń na figurę/’. Rezultatem tych operacji jest konstrukcja pary figur podobnych. W drugim, na odwrót, figury/i/' są dane, uczeń zaś poszukuje jednokładności i izometrii, których złożenie przekształciłoby/na/. Rezultatem jest para przekształceń poprzednio obierana dowolnie. W trzecim przypadku uczeń najpierw przechodzi w jednym kierunku od/do / wyznaczając parę przekształceń, następnie zaś w drugim kierunku wykonując złożenie tych przekształceń na punkcie O, od O do O'.

Następują układy ćwiczeń - już nie rysunkowych, ale pomyślanych: a) zbadaj, kiedy dwie figury, z których każda jest złożona z prostej i punktu, są podobne, b) podaj możliwie najprostsze warunki wystarczające do podobieństwa dwóch rombów itp. Chodzi tu przy tym ciągle jeszcze o bezpośrednie zastosowanie wspomnianego twierdzenia. Aby te zadania rozwiązać, uczeń wykonuje konstrukcje w abstrakcji, i to w obu kierunkach.

Wprowadzając pojęcie potęgi, od razu na tej samej lekcji zorganizujemy ćwiczenia, w toku których uczniowie będą przechodzić od zapisu a ■ a- a • a ■ a do zapisu a i, na odwrót, od ćwiczenia „oblicz szóstą potęgę

2    27

liczby    —    ”    do    ćwiczeń    typu:    „przedstaw liczbę    —    jako    naturalną    potęgę

3    64

16

pewnego    ułamka”,    „zbadaj,    czy    liczbę - można    przedstawić    jako    natu-

121

ralną potęgę pewnego ułamka itp. Sens dydaktyczny tych ćwiczeń jest jasny.

Wychodząc od konkretnych przykładów wprowadziliśmy pojęcie proporcjonalności prostej. Uczniowie wyrażają to przyporządkowanie każdym konkretnym przypadku w postaci funkcji liniowej; polecamy im odnaleźć sytuacje, z którymi spotkali się w nauce fizyki, chemii, w zajęciach technicznych itp. i w których występuje proporcjonalność prosta; polecamy im odszukać sytuacje matematyczne, które można opisać z góry lanymi funkcjami x—> 5x, x—> -7x, x—> -x, x—>x.

Ten bardzo prosty przykład ćwiczeń na poziomie niższym ilustruje fcelowe organizowanie dwu przeciwnie skierowanych aktyw-lości, którym na poziomie wyższym odpowiada w jednym kierunku ak-sjomatyzacja oparta na zdefiniowaniu ogólniejszej struktury wyabstrahowanej przez analizę jednej lub więcej konkretnych sytuacji, w drugim poszu-| kiwanie różnych konkretyzacji zadanej a priori aksjomatycznie struktury. Na przykład aksjomaty incydencji afmicznej mogą być sformułowane na gruncie idealizacji i ekstrapolacji przestrzennych doświadczeń i intuicji, następnie można dla nich poszukiwać innych konkretyzacji, między innymi w geometriach skończonych. Wtedy zarówno sens metodologiczny aksjo-matyki jako definicji wieloznacznej struktury będzie dla uczniów zrozumiały i treść aksjomatów dokładnie i trwale przyswojona.

Siedmioletnie dzieci oswajają się z używaniem terminu „zbiór” i wyrażenia „warunek określający zbiór” w znaczeniu funkcji zdaniowej określonej na pewnym zbiorze przyjętym w danej sytuacji za „świat mowy” („Kleine Welt” H. Freudenthala), czyli pełny zbiór, z którego ten warunek wydziela w sposób jednoznaczny odpowiedni podzbiór. Ćwiczenia zmierzające do oswojenia dzieci z tą terminologią są organizowane w dwóch kierunkach, od danego warunku określonego na pełnym zbiorze do wyznaczonego przezeń zbioru i, na odwrót, od zadanego z góry explicite zbioru do propozycji warunku określającego jednoznacznie ten zbiór, jako podzbiór pełnego zbioru. Oczywiście taki warunek może polegać na bezpośrednim wyliczeniu elementów tego podzbioru. Ale dzieci bardzo dobrze rozumieją, że można inaczej zbiór określić, podając wspólną własność jego elementów (zbiór klocków czerwonych, zbiór dzieci siedzących w pierwszym szeregu ławek itp.). Dzieci ośmioletnie otrzymują swoje współrzędne w układzie rzędów i kolumn ławek (para: numer rzędu i numer kolumny, na przykład Uczonych od stolika nauczyciela i od drzwi klasy). Przyporządkowanie uczniom par liczb odwzorowuje w arytmetyce każdą relację określoną

247