Obraz5 (87)

łań. Na taką analizę nigdy nie należy żałować czasu. Uczeń powinien dobrze umieć zinterpretować równość (a • bf = a" • b" w Języku czynności”, a więc myśleć: „Twierdzenie to zapewnia nas, że wykonując najpierw mnożenie a ■ b i następnie podnosząc otrzymany iloczyn do n-tej potęgi, otrzymamy tę samą liczbę, którą otrzymamy też postępując inaczej, tj. podnosząc a do n-tej potęgi, podnosząc b do n-tej potęgi mnożąc uzyskane w ten sposób liczby”.

Obliczając iloczyn 3 ² -12 ² opłaci się skorzystać z tego twierdzenia i zmienić porządek działań, bowiem:

( a ■ b )" • —■— = a " ■ b " ■ —— - a ⁿ

b_x"    bⁿ

Obliczając iloczyn (a ■ bf ■ — opłaci się skorzystać z tego twierdzenia i zmienić porządek działań, bowiem:

Z wzoru (a - b) • (a + b) = a² - b² opłaci się korzystać „od prawej do lewej strony”, np. obliczając 100²-99², bo 100² - 99² = 199 ■ 1 = 199. Natomiast iloczyn 1003 - 997 opłaci się obliczać według wzoru „od strony lewej do prawej”, a więc obliczyć różnicę 1000² - 3² = 999991. c) Uczniowie poznają definicję jakiegoś obiektu, następnie twierdzenia dotyczące tego obiektu. Definicja bywa odczytywana często jako schemat konstrukcji tego obiektu, gdy są dane wartości parametrów, występujących w definicji.

Twierdzenia, w szczególności tak zwane wzory, stosowane w rachunku numerycznym, są również tak interpretowane operatywnie („obliczam według wzoru”). Obserwacja szkolna ujawnia, że często mechaniczne stosowanie tych wzorów eliminuje z świadomości uczniów definicje i że uczeń wykonuje obliczenia, nie wiedząc już, co właściwie oblicza. Na przykład stwierdziliśmy niejednokrotnie, że uczniowie szesnastoletni wyznaczali sprawnie granice ciągów stosując pewną ograniczoną listę twier-dzeń-wzorów, ale gdy się ich zapytano, jak rozumieją równość

lim n + 1    _ J_

n —> oa 2 n + 3    2

otrzymaną w wyniku rachunku:

lim    n + 1 _ lim ^{1 +} n _ ¹ + ⁰ _ 1

n —> °o 2n + 3 ^{n 00} 2 + — 2 + 0    2

n

nie umieli na pytanie odpowiedzieć i, jak się okazało, nie rozumieli zupełnie pojęcia granicy, choć umieli ją obliczyć w typowych przypadkach. Inną sytuację stwierdziliśmy w klasach, gdzie nauczyciel często powracał do definicji granicy ciągu bądź polecając uczniom obliczanie granicy „według twierdzeń” i dodatkowe, choć już niepotrzebne, sprawdzenie poprawności otrzymanego wyniku „według definicji”, lub przeplatał ćwiczenia sprawnościowe, mechanizujące stosowanie twierdzeń, ćwiczeniami, w toku których uczeń, nie rozporządzając odpowiednimi twierdzeniami, stawiał intuicyjną hipotezę o wartości granicy i weryfikował ją na podstawie definicji. Obserwowaliśmy również uczniów, których nauczono biegle różniczkować funkcje wielomianowe w ramach wielu ćwiczeń na temat badania zmienności tych funkcji i szkicowania ich wykresów. Gdy przystąpiono do obliczania pochodnej funkcji *    — okazało się, że żaden z uczniów nie umiał się do

tego zabrać, definicja zatarła się w ich pamięci (proponowano nawet jako odpowiedź funkcję stałą oc—>1, bo „pochodna funkcji x—>x jest równa lii: 1=1). I znowu inną była reakcja uczniów w klasie, w której powracano stale do definicji pochodnej, obliczając pochodne rozmaicie, „z wzorów” i „z definicji”.

Można łatwo stwierdzić, że stosowanie przez dłuższy czas ćwiczeń numerycznych z zastosowaniem tablic logarytmicznych zaciera w myśli ucznia samo pojęcie logarytmu. Aby wyznaczyć liczbę lo^log3;'^2<5 uczeń automatycznie stosuje regułę „logarytm potęgi równa się ...” i szuka w tablicach wartości przybliżonej log 3526. Inny uczeń znajduje w tablicach log sin 30° = 0,3010, ale na pytanie, jak to stwierdzenie można inaczej zapisać bez użycia symbolu „log”, nie umie odpowiedzieć. Dalsze badanie ujawnia, że w istocie rzeczy nie wie, jaki sens ma ten symbol, choć biegle wykonuje obliczenia numeryczne za pomocą tablic. Natomiast w innej klasie, w której, stosując tablice, do definicji logarytmu od czasu do czasu powracano, uczennica, od której zażądano podania wartości tablicowej log 3 z pamięci i która tej wartości nie pamiętała, próbowała poradzić sobie przez znajdowanie kolejnych przybliżeń pierwiastka równania 10^x = 3