P1111274

54 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

m > 1, obliczmy pochodną

TT . X'

Ili i/y)' i (m 11) x"-² /F |

i-l V'

2 JY

2(m-l) x"~²(ax² + &x+c)+x"~‘(2ax + Zi)

2j/T

¹A a x"^_1

= ma —==■ + m

M

ym-2

+ (m-l) c—pr-

yT    l/7

i scalkujmy otrzymaną tożsamość; otrzymamy

x^m-¹ /F = maV_M+ (m — y) 6K_m-!+(m — 1) cK_m-₂. Biorąc tu m = 1 znajdziemy

gS' *4^-i*-

8 a⁵

4 a

Biorąc następnie m = 2 i wykorzystując wyrażenie dla V\ otrzymujemy V₂ = -X-(2ax-3b)fr + -^(36²-4ac) V₀ .

Postępując tak dalej dojdziemy do ogólnego wzoru

fjL = Pm-l(x)V* +A_mP₀,

gdzie (x) jest wielomianem stopnia m—\, a A_m = const. Tak więc wszystkie całki sprowadzają się do V_Q.

Jeżeli w całce I wielomian P (x) będzie stopnia n, iu całka ta będzie kombinacją liniowi całek V₀, V_lf..., V„_f a więc na mocy poprzedniego wzoru można ją napisać w postać

(9)

gdzie Q (x) jest pewnym wielomianem stopnia n— 1, a A = const.

Samo wyznaczenie wielomianu Q (x) i stałej A dokonuje się zwykle metodą współczynników nieoznaczonych. Różniczkując (9) i mnożąc obie strony otrzymanej równości przez yfY otrzymujemy

P(x) * Q'(x)(ax² + óx+c) + yQ(x)(2ax + ó) + A.

Jeśli zamiast Q (x) podstawimy tu wielomian stopnia «-l o współczynnikach nieoznaczonych, to otrzymamy po obu stronach wielomiany stopnia n. Przyrównując współczynniki

otrzymamy układ n+1 równań liniowych, z których wyznaczymy n współczynników wielomianu Q (x) i stałą A (*).

Uwaga. Wzór (9) wydziela część algebraiczną całki

fW^dx-

Podobnego wydzielenia części algebraicznej można by dokonać także dla całki w ogólnej postaci

fW^dx'

gdzie jR jest dowolną funkcją wymierną. Nie będziemy się jednak na tym zatrzymywali. II. Całka

/dx (x-a)^k\/Y

sprowadza się przez podstawienie x—oc= 1/t do rozpatrzonego wyżej typu. Rzeczywiście, mamy

I    dt    , _f    (aoP + ba+ć) t²+(2aa+b) t+a

dx = —-j-, ax² + bx + c -p-,

a więc (uważając na przykład, że x > a i f > 0) otrzymujemy

/

_dx_

(x—a)^k \/ax²+bx+c

_i^k~^xdt_

|/(aa² + ba + c) t² +(2aa + b) t + a

Jeżeli aa²+ba+c = 0, tzn. jeżeli a jest pierwiastkiem trój mianu Y, to rzecz się upraszcza — otrzymujemy całkę typu rozpatrzonego w ustępie 278.

III. (a) Przechodząc do ostatniej całki rozpatrzymy osobno przypadek, gdy trójmian ax²+bx+c różni się od trójmianu x²+px+q tylko czynnikiem a. Wówczas szukana całka ma postać

r Mx+N J (ax² + bx + c)^(2m+^1>/2 dx *

Można ją łatwo przedstawić jako sumę dwóch całek

M r_2ax + b_ ,    /„ Mb\ r_dx

2a J (ax² + bx+c)^(2m+l)/2 *    \ 2a JJ {ax² + bx+c)^l2m+l>/2

z których pierwszą można obliczyć od razu za pomocą podstawienia t = ax² + bx + f.

(^l) Z udowodnionego wynika, że układ ten będzie rozwiązalny dla dowolnych wartości wyrazów wolnych, wówczas zaś wyznacznik układu musi być różny od zera i układ jest zawsze określony. Tym samym udowodniona została też jednoznaczność przedstawienia (9). (Por. str. 32 i 35).