P3200279

138

Wll. Dla jakiej wartości parametru A punkty A( 1.1,0), Bil. —1.-3), C(0. A, 1), D(2,1,2) leżą w jednej płaszczyźnie, a dla jakiej wartości A przez dane punkty nie można przeprowadzić płaszczyzny?

A0 = [0, -2,3):    AĆ= [-1.A-1.1]; IB = [1,0.2]

0-2    3

1 A-l 1 =0-2 + 0-3(A-1)-0-4 = 10 2

= -6 - 3A + 3 = —3A - 3

Jeżeli — 3A — 3 = 0, czyli gdy A = — 1, wówczas wyznaczone wektory są komplaname, a to oznacza, że punkty A. B, C, D leżą w jednej płaszczyźnie. W przeciwnym przypadku, tzn. gdy -3A -3^0. otrzymujemy, że przez dane punkty nie można poprowadzić płaszczyzny.

Qdp.; Jeżeli A = — 1, to dane punkty A, B, C, D leżą w jednej płaszczyźnie, natomiast dla A — 1 przez zadane punkty nie można poprowadzić płaszczyzny.

GEOMETRIA ANALITYCZNA (G)

Gl. 1) Zbadać wzajemne położenie tr*f *h płaszczyzn (wyznaczyć część wspólną)

i + 2y + 3* - 1 = 0, * - y + 5* - 4 = 0. 2* + 7y + Az - 2 = 0.

2) Podać', czym może być część wspólna trzech dowolnych płaszczyzn.

Ad Gl.l)

Zbadamy, jakim zbiorem jest część wspólna		trzech danych płaszczyzn.
( r + 2y + 3* = 1	1 2 3
W =	1 -1 5	= -4 + 20 + 21 + 6 - 8 - 35 =
< x - y + 5z = 4	2 7 4
1 2x + 7y + 4z = 2		= 47 - 47 = 0

_²j    =-1-2^0

	1	2	3
R(A) = R	1	-1	5	=	2, bo W =	det A =	0
	2	,7	4
	1	2	3	1'		1 2	1
R(U) = R	1	-1	5	4	o x> n II	1 .-1	4
	2	7	4	2		2 7 .	2.

= -2+16 + 7 + 2- 4

- 28 = 25 - 34 jć 0

Skoro R(A) =ć R(U), zatem układ jest sprzeczny.

Odp.: Część wspólna danych trzech płaszczyzn jest zbiorem pustym.

Ad G1.2)

W celu znalezienia części wspólnej trzech dowolnych płaszczyzn należy rozwiązać odpowiedni układ równań (jest to układ trzech równań z trzema niewiadomymi), zatem jako część wspólną można otrzymać: