S6300951

przyKtaay

^smy ^ateni /„* + l) (2n - 1)!

1)!+ 1

(n³ + X) (2n - 1)!    _; (łn _ _n,

(2n — l)!(2n)(2n + 1) + 1 ■. «n - iji

n³ + 1

2n(2n + 1) +

1 +

{2n - \)\

^l(2n - 1)1

;,_ifj oraz z twierdzeń o arytmetyce granic otrzymamy

² (^{2 +} i) ⁺ i^(2n - X)\

o ar

1 +

1+0

lim

(n³ +1) (’2n - 1)

•-«>    (2n+l)! + l    2    . ¹ \ i    i    2 - (2 + 0) + 0    4‘

\ n/ n^a(2n — 1)1

g) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na sumę Sit początkowych k składników ciągu arytmetycznego

Sk = 2L±J“S._fc,

gdzie <j| oznacza pierwszy składnik, a a* ostatni składnik sumy. W sumie występującej w liczniku jest n + 1 składników (pierwszym składnikiem jest 1, a ostatnim 2n + 1). Zatem

1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = -    — (n + 1) = (n + 1)“.

Z kolei suma występująca w mianowniku ma n składników (pierwszym składnikiem 4, a ostatnim 3n + 1). Zatem

_rn ’ _v 4 + (3 n + 1) n(3n + 5)

4 + 7 + 10 + .. • + (3n + 1) =-^--n=    ^--■

Teraz możemy przystąpić do obliczenia granicy. Mamy

1 + 3 + 5 + ■ ■ ■ + (2n + 1) n-»oo 4 + 7 + 10 + • • • + (3n + 1)

lim

lim

(n + l)^a

oo n(3n + 5)

== lim

: n² n—*oo

*K)

3 +

2(1 + O)² 3 + 0

h) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na sumę początkowych k składników ciągu geometrycznego

Sk = ai

l-q^k

gdzie aj oznacza pierwszy wyraz, a q iloraz ciągu geometrycznego. Suma rozważana w liczniku ma 2n + 1 składników (pierwszy wyraz ciągu ai = 1, a iloraz q = 2). Zatem

i _ o²ⁿ⁺¹

1 + 2 + 2" + ... + 2^źn = 1 •

_ ₀2n + l

1 -2

- 1.

Z kolei suma rozważana w mianowniku ma n składników (pierwszy wyraz ciągu = 4, ⁴ iloraz q = 4). Zatem

4 + 4² + 4³ + ... + 4ⁿ = 4 •

1

- 4ⁿ 4