s94 95

94

4. Dana krzywa jest zadana we współrzędnych biegunowych. Jest ona ograniczona lukami rozety.

94

Zgodnie ze wzorem na pole obszaru, mamy

cos 4 <p)dip

i ^    TT    TT

A = 4 I -r²(<p)dip = 81 sin² 2ipdy> = 4 / (1— Jo ²    ./o    J o

4 ((fi - - sin 4(p

7T 2	= 4?
0	2

2?r.

Obliczyć pola obszarów płaskich ograniczonych liniami:

1 -y = r^2’	y =	CO i II H O	x = 3
2. 2/ = 5x^2 -	- 6x,	y = 0, x =	— 1, X = 1

4-2/ = Ina;, i < x < 1, j, = 0

6. y = 3x - x², y = -a;

8- y = x², y = 8-X² 10.y = 2-x², y^{1 2 3}=x²

12. y = e^x, y = e^2x, x=l

14. 2/ = 1 - |x|, 2/ = 0

16. 2/ = x sin x, 0<x<2n, y = ()

18. y² = 6 - x, y = x

21.    y — X¹ + 1, y = -x + 3, y= 1

22.    y = arcctgx, y = 7r, x = —1, x = 1

23.    i/ = e^r, y = e~^r, x-l

25. y = e ^2x, x > O, y = 0

28.    y = xe~*^J: , y = O

Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi w postaci parametrycznej:

29.    x = t³, y = 2t² + 1, — 1 < t < 1 i osią Ox

30.    elipsą: x = 2 cos t, y = 3sint, 0 <t <2n

31.    a: = cost, y = sin² t, 0 < t < n i osią Ox

32.    x = cost, y = e^l, 0 < t < 7r i osią Ox

33.    asteroidą: x = cos³ t, y — sin³ t, t £ [0, 27r]

34.    pętlą daną parametrycznie: x = 31², y = 3t — t³

35.    pętlą daną parametrycznie: x = 21 — t², y — 21² — t³

36.    cykloidą: x = 2(t-sint), ?/ = 2(l-cost), t € [0,27t] i osią Ox

37.    Obliczyć pole wspólnej części dwóch elips o równaniach:

oraz

Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi zadanymi we współrzędnych biegi wych:

39. p = 2 — cosip 41. p = 1 + 2 cosip

38. p = 2 cosip 40. p — 2(1 + sin tp)

42.    /; = 2 cos3i^

43. kardioidą: p    n(l I con<^), a > 0

44. kardioidą: /<    n( I i nsip), a > ()

1

y = —, 1 < x < e, y — 0

2

x

3

y = x² + 1, y — 3 — x 7. y = (x- l)², y = x + 1 9. y = x(3 — x), y — x - 4\fx 2

11. 2/ = sin x, y = — x

TT

13. 2/ = lnx, y = 1 — x, x = e

15. ?/ = Ina;, 2/ = ln² x

17. 2/ = sin2x, 2/ = sina:, 0 < x < tt 7r

19. y = sin -a:, 2/ = x