183(1)

(granica obszaru *²-f (y+l)^J = 9* we współrzędnych biegunowych ma postać o = 3).

858. Obliczyć masę bryły ograniczonej powierzchnią walcową x² — 2y i płaszczyznami y+z = 1, 2y+z == 2, jeśli gęstość objętościowa w każdym jej punkcie liczbowo jest równa rzędnej punktu.

Rozwiązanie. Z warunku zadania wiemy, że w punkcie M(x, y, z) bryły jej gęstość objętościowa wynosi 8(M) = y. Według wzoru (2) masa bryły jest równa

m = J I f 6(M)dv — fj j ydxdydz

G    G

gdzie G — obszar przestrzenny zajmowany przez bryłę (rys. 188). Całkę potrójną znajdujemy według wzoru (*); mamy więc

2(i -y)

m— ffydxdy j dz = IJ y(l — y)dxdy =

G_xy    1 -y    AOB

}    V2y    1

= J (y—f)dy J dx= f (y~y²)2\'2y dy =

^{0 0}

859. Znaleźć środek ciężkości odcinka kulistego, którego gęstość w każdym punkcie jest wprost proporcjonalna do odległości od podstawy odcinka.

odcinka kulistego przez h oraz obierzmy układ współrzędnych prostokąt-

Rozwiązanie. Oznaczmy promień kuli przez R, a wysokość

nych o początku w środku kuli, tak aby oś Oz była skierowana zgodnie z osią symetrii odcinka kulistego (rys. 189). Wtedy równania sfery i płaszczyzny, ograniczających odcinek (G), będą miały postać: x?+y²+z² — = R² i z = R—h, a gęstość w punkcie M(x, y, z) odcinka wyrazi się wzorem

Z‘

x²+ij²+z²=R²

Rys. 189

S = k(z-R+h). Dowolny przekrój tego niejednorodnego odcinka kulistego płaszczyzną równoległą do jego podstawy będzie jednorodnym kołem o środku leżącym na osi symetrii odcinka. Wobec tego środek ciężkości odcinka też będzie leżał na osi symetrii, cz9H*c_c = yc = 0.

Aby obliczyć pozostałą współrzędną środka ciężkości odcinka, zastosujemy wzór (3). Znajdujemy: 1) moment statyczny hy i 2) masę m odcinka:

1) I_Xy — J) I zddxdydz — k J f J (z—a)zdxdydz;    a = R—h

G

G

Całkę potrójną sprowadzamy do całki podwójnej i zwykłej całki

I_xy — k \ I dxdy | (z²—az)dz

' v

gdzie: G_xy — koło x^2jry² < r², r²— R²—a², z_l = }/ R²—x²—y² . Obliczamy całkę wewnętrzną

3

24 Metody rozwiązywania zadań

369