str157 (3)

SOWAN1A § 4. WYZNACZANIE ORYGINAŁU 157

lane współczynniki A_l,A₂iA₃ «

T-

amy

⁶ 1

5 (s+2)²+9‘

Laplace’a i stosując wzór (3.2),

«—1),

la a= -2, b = 3),

dla a= -2, 6 = 3). >ru (4), mamy -je“^J'sin3t.

jest holomorficzna wszędzie ia bieguny jednokrotne. Wyli-

czarny następnie residua funkcji

(s+a)(s + b)

e^st kolejno w punktach s_t oraz s₂. Mamy

wtedy

(1)

(2)

se“ "I —ae~

^reS-i(_{S +} a)(s ₊ 6)J (—a +

res.

r

se

ae

+ b) a — b’ "I _ —be~^bl _ -be'*

|_(s + a)(s + 6)J (-b + a)    a-b

) i uwzględniając zwią ae-^a‘ _be^_ _ i J    a — b a — b

Stosując do naszej funkcji <£>(.?) wzór (3.6) i uwzględniając związki (1) oraz (2), otrzymujemy

■-* ae-^M-be-^u

m

-^Łi

_(s + u)(s + 6) Zadanie 4.5. Wiedząc, że

s²-4

0 (s) = —j-i

(s² + 4)²

metodą residuów wyznaczyć oryginał

m

-i

s²—4 1 (s²+4)²J

a — b

Rozwiązanie. Zauważamy najpierw, że funkcja <P(s) jest holomorficzna wszędzie z wyjątkiem punktów s, = 2/ oraz s₂ = —2i, w których ma bieguny dwukrotne. Wyliczamy następnie residua funkcji

(sV4)‘

kolejno w punktach oraz s₂. Mamy wtedy

r s²—4

(i)

oraz

(2)

res_2i

_(s² + 4)²

"j 1    dr    ₂(s² —4) e⁵'l

_s-.2ids[_ (s —2i)²(s + 2/)“ J j-.2>ds[_ (s+2i)‘ J

f2^‘+(!²-4ne" 2(s¹—4)e”"|    „

~    (s₊2,f----

(s² + 4)²

Stosując do danej funkcji 4>(s) wzór (3.6) i uwzględniając związki (1) oraz (2), mamy

s² —4

m

}le²“ + jle ^2,, = fcos2f.