Image49 (13)

96

Stąd

L =

^mi + ^m2 ,2    *2    ^m2 ,2    *2    ,    ,    •    •

/_x aj + — *₂ ^a2 + m₂ l₂ a_A a₂ cos(a₁

2

2

~ a₂) 4-

-f (mj + m₂) g cosa₁ 4- m₂ g l₂ cosa₂.

2.37

a. Układ przedstawiony na rys.30 ma dwa stopnie swobody. Jako współrzędne uogólnione przyjmujemy x i a. Współrzędne kartezjańskie obu punktów

wyrażamy przez współrzędne uogólnione. Dla m*:

X II	Xj = X,
z, = 0,	zx = 0.
Dla m2:
x2 = x 4- / sina,	x2 = x 4- /a cosa,
z2 = / cosa,	• • z2 = —/a sina.

Wtedy odpowiednie energie przybierają postać

E_u =

¹ -2 2 ^mi

E_pi = 0,

Ek2 —

\ ^mZ (^x2 + z’D

^ m₂ (x² 4- 2/xa cosa 4- /²a²),

£_p2 = —m₂gl cosa.

4-

m.

~2

(2/xa cosa 4- /²a²) 4- m₂gl cosa.

b. Układ ma dwa stopnie swobody. Wprowadzając jako współrzędne uogólnione: z, cl (rys.31) i licząc podobnie jak w punkcie a, mamy:

E

u

¹ *2 2 ^m‘ ^z ’

E,i =

m_tgz_f

Ek₂ = 2 ^m2 (i

llzcc sina -f /²a²),

E_p2 — —m₂g (z -f / cosa).

Stąd

_r m, -f m₂    m_{2 /f2} .»

L = -±—-- (2#z + z²) +    (/²a²

2

2

— 2/za sina + 2gl cosa)

2.38. Jeśli ruch układu n punktów materialnych, każdy o masie m_it o graniczony jest p więzami w postaci

f t*i - -V y i - y„, z i - z„)

to spełnione są następujące równania

0

(/

1, 2, .... p)

^mi ^Xi

F    I    Y    ]    ^f

^Fix    +    Ł    h

i = 1    ^axi

0

1, 2,    n),

^mi = ^Fiy + L ^XiJ7,’

j= 1

"•i Zi = -Fiz +    1 */

j=l ^ozi

gdzie: Xj - nieokreślone mnożniki Lagrange’a,

- składowa reakcji więzów w kierunku osi x, działająca na i-ty

Sf

j- i    punkt,

F_iJC - składowa siły zewnętrznej działająca w kierunku osi x na i-ty punkt