img060 (25)

65

Wobec założonej różniczkowalności funkcji J[ ) składnik 91 reprezentujący resztę we *cerze* Taylora przyjmuje wartość dowolnie małą w sensie normy || gL|| wektora 91 rozważane-s: ak: wektor w R", przy odpowiednio małej wartości ||x - .v₍₀) ||. Nonna | • || jest tu dowol-i- icnną w R" równoważną standardowej normie pierwiastkowej. W algorytmie Newtona-Łicćsona przyjmuje się, że dla punktów x należących do rozważanego w obliczeniach miecenia punktu x₍₀) zachodzi 9l(;t, x_i0)) = 0 w porównaniu z pozostałymi dwoma składni-ioBE rozwinięcia (3.83). Funkcja_/(-) jest więc aproksymowana funkcją afmiczną,

f(x) = /(*(o))+ Jf U(o))- U - *(o))    (3-⁸⁴)

rcriesymację tą przyjmuje się za wystarczająco dokładną dla wszystkich x e R" .

Zakłada się nieosobliwość macierzy J/(x₍₀)). Jako pierwsze przybliżenie jCfi) pewnego :.ax m .adającego w granicy zadanemu punktowi początkowemu jc₍₀) rozwiązania danego aiwcssnia (3.77) przyjmuje się rozwiązanie równania

f[x(o))+ ^/U(o))- U - *(o)) = ⁰ >    (3-85)

taure uproksymuje równanie (3.77) z dokładnością do składników liniowych względem *-x Z (3.85) otrzymuje się

*-*(o) =-^Jf(^x(o))-f(^x(o))>    (3-86)

ztt założonej nieosobliwości macierzy Jacobiego J/(X(oj) (det Jf(x_fo)) ^ 0), i następnie

*(t) = *(o) - ^Jf (*(o))' /(*(0)) •    (3.87)

Wektor pierwszego przybliżenia pewnego rozwiązania równania (3.77) zostaje ttt er. za wystarczająco dobre przybliżenie rozwiązania, jeżeli spełnione są warunki

/(*(!)) <§	(3.88)
*(i) - *(<>) | < ^E >	(3.89)

acz: z : : e są zadanymi liczbami dodatnimi określającymi wymaganą dokładność wyzna--ue—u pierwiastka. W przypadku spełnienia warunków (3.88) i (3.89) obliczenia związane z poszukiwaniem rozwiązań zostają zakończone lub ustalany jest nowy punkt początkowy * - * celu powtórzenia kolejnych działań algorytmu dla znalezienia innego niż już otrzymać e rozwiązania równania (3.77).

Jeżeli nie jest spełniony jeden z warunków (3.88) lub (3.89), realizacja algorytmu jest lit" zuowana w kolejnym kroku. Funkcja /(■) jest aproksymowana nową funkcją afmiczną icz-maną w wyniku częściowego rozwinięcia funkcji _/(•) w szereg Taylora w otoczeniu nzror. ,r otrzymanego w pierwszym kroku z uwzględnieniem składnika fix_i]}) i składnika hm:a. ego względem (x - *₍₁₎). Otrzymuje się zatem kolejne przybliżenie funkcji/(-) funkcji ifr.iczną.

/(*) = /(jf₍₁))+ J_f (*(!))■ [x - *(,))    (3.90)

rrr rażenie to przyjmuje się za wystarczająco dokładne dla wszystkich jc e R ".