img432

= -1.

Ad b) Mamyjim /(x) = lim (2x- 5) = -1 oraz

o

t

lim /(x) = ^x2 ~ ⁵*+⁶ = lim &--?> ll--³⁾ = lim <x - 3)

x-*2^+J ' ⁷    X - 2    x->2+    X-2    x—>2+'    ⁷

Obie granice jednostronne w punkcie x₀ = 2 istnieją i są równe -1, skąd wnioskujemy, że istnieje lirn /(x) i prawdziwa jest równość

lim/(x) =-1.

PRZYKtAD 12.

Wyznaczmy następujące granice:

a) lim

4 - x

4 - x

•Ż; x² - 3x + 2 ' JI+2+ x² - 3x + 2 ’

b)    lim f*³*-*, , lim f ^{+ 3}* - ⁴ ;

x->1^_ X² + X - X³ - 1    x->1 + X² + X - X³ - 1

c) lim -^^{2 + 5x}    , lirn , - *^{2 + 5x}    .

x^2 x³ + 3x² - 4    ^x->~² X³ + 3x² - 4

Ad a) Zauważmy, że jeśli x->2~, to licznik ułamka dąży do 2, a mianownik do zera. Trzeba więc określić znak mianownika (licznik bowiem jest dodatni). Możemy w tym celu posłużyć się wykresem funkcji f[x) = x² - 3x + 2 (z mianownika):

Wliliti', >r jeśli x >2 , to wartości funkcji J'(x) = x² 3x + 2 dążą do zera, ale u|rmnr (w niewielkim, lewostronnym sąsiedztwie punktu x₀ = 2!). Zatem

Wtmy

T

lim

* >;

= —oo.

4 - x <² - 3x + 2

-v-

i 0"

Iw/ell zaś x -»2⁺, to wartości funkcji /(x) = x² - 3x + 2 dążą do zera, ale są Hndnlnle (w prawostronnym sąsiedztwie punktu x₀ = 2).

A Więc

2

4 - x - 3x + 2

lim

* >2

+

= +oo.

X²

Ad l>) Tym razem zarówno licznik, jak i mianownik ułamka dążą do O (jeśli H ).    ₀

t

„ x² + 3x - 4    .. (x — 1) (x + 4)    ..    x + 4

lim —5-₅—- = lim -p-i-tt\~/-7TT- = lim — -——    .

« ►! X²+X-X³-1    x-»1- [— (x — 1 ) ² (x + 1 ) ]    x-»1^- [-(x - 1 ) (x + 1 )]

^    V    ^J

4

o

Jeśli X ->1 ~, to licznik ostatniego ułamka dąży do 5 (jest więc dodatni). Z wykresu funkcji /(x) = — (x -1) (x + 1) (z mianownika)