PB032252

6. Funkcje. Podstawowe

i) On = n² ^ln(n²+l)~ln(n²+2)j, j) a_n = n ln

6.29.    Dla jakich A 6 R ciąg j v^l - n³ - A n J jest zbieżny.

6.30.    Wyznaczyć granice ciągów określonych wzorami rekurencyjnymi:

a)    di ⁼ 2, 2(^+1 ⁼ 3 —* (inj

b)    ai = a, a„₊i = pa_n -f q, \p\ < 1,

c)    a\ = 1, On+i = \Z2 + a„.

Rozwiązania

6.1. a) Jest różnowartościowa. Jest odwzorowaniem na. b) Nie jest różnowartościowa Nie jest odwzorowaniem na. c) Jest różnowartościowa. Nie jest odwzorowaniem na. d) Jest różnowartościowa. Jest odwzorowaniem na. e) Nie jest różnowartościowa Nie jest odwzorowaniem na. f) Jest różnowartościowa. Nie jest odwzorowaniem na g) Nie jest różnowartościowa. Jest odwzorowaniem na h) Jest różnowartościowa Jest odwzorowaniem na

6-2. a) (/o/)(x) = /(/(*)) = x⁴ + 6x² +12.

b)    (fof)(x) = f(f(x)) = V^+2.

<0 (/<>/)(*) = /(/(*)) - §&*/-!■

d)    (/o/)(x) = /(/(*)) =x^a(x-2)^a.

^e)    (/ o /)(*) = f(J(^x)) = sin(sinx).

^f)    (/°/)(*) =/(/(*)) = *W o.

K) (/o/)(*) = /(/(x))=s?^rF5 6-3. a) (so/)(x) = g(/(x)) = _?Łt._t,¹l>ł+1. b) (/og)(x) = f(g(x)) = ^

^c)    (/°J°/)(*) = Mm)] = jszfpTI + ^L

^d)    m = 1. 9(1) = i (/ o 9)(0) = 3, (g o /)(1) =

⁶‘⁴‘ ^a) (/°«)(*) = f{g(x)) = i⁵,|jo/)(x) = g(/(x)) = x².

^b)    (/°9)(x)=/(g(x))=(x+3)², (go/)(x)=g(/(x))=i^J+10r+®

^c)    (/°9)(x) = f(g(x)) = x*², i / O, (jo/)(*) = j(/W)"-'

* * 0. d) (/o,)(x) = }(g(x)) = *, x € R+, (9»/)W -K/WI** *€8+.