00098464

I. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Ćwiczenia

1. Jakie

, ... ...    * nadamy równaniem różniczkowym nieliniowym?

N. ™    "Łr"””¹"    *»«*.»« *

Ute 4    “ «“ «“*"» W «S«W,

_ riL,»!°^Slłi^    P»rame«ni, znaleźć pierwsze przybliżenie rozwiązania

Odpowiedzi. 4.

* «(    *>*+*-^ spełniającego warunki początkowe: a(0) - 0,

x»2smi+^cosr~-I«>s3/.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

II

1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

Przypuśćmy, ie szukamy funkcji u(x, y) spełniającej w każdym punkcie (oc; y) prostokąta P:a<ar -< 6, c <y równanie

=- Ax, y)    <u.u

przy czym f(x, y) oznacza daną w tym prostokącie funkcję ciągłą ze względu na zmienną x. Niech F(x, y) będzie dowolną funkcją klasy C¹ w prostokącie P i taką, ie

A[£=H

Wówczas zbiór funkcji

“O. y) = W*, y)+g(y)    ółż)

gdzie g(y) jest dowolną funkcją klasy C¹ w przedziale <c, d), zawiera wszystkie funkcje klasy C¹ w prostokącie P spełniające równanie (II. I) i tylko takie funkcje.

Mówimy, że zbiór funkcji (11.2) jest rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania (H.l).

Jeżeli żądamy dodatkowo, aby funkcja u(x, y) spełniała warunek

"(*o,y) = ?00    (II. 3)

przy czym x₀ e (a, i>> oraz funkcja <f (y) klasy C¹ w    przedziale (c,d) są z góry

dane, to biorąc pod uwagę (II.2) otrzymujemy <p(y) — F(x₀, y)-lg(y), skąd g(y) = <p(y)-F{x₀, y).

Warunek (II.3) nazywamy warunkiem początkowym, a liczbę x_t oraz funkcję <p(y) — wartościami początkowymi.

' Tak więc funkcja

«<*> y) = F(x, y)+f(y)—F(x₀, y)    (U.4)

jest jedyną funkcją spełniającą w prostokącie P równanie (11.1) oraz warunek początkowy (II.3).

Funkcję (11.4) nazywamy rozwiązaniem szczególnym lub całką szczególną równania (II. 1), spełniającą warunek początkowy (11.3).