130 131 (3)

130

b) Niech {		ei	c 2.	e*, )
nych wektorów			i':	, uz
	fi]	e2	en
	1	1	1	2
v.i =	O *	1	-1	-1
	0	0	0	1

= (-2.3. -1.0), v,=

	et	<?2 «3	e\
	l	1 1	2
	2	1 -1	-1
	-2	3 -1	0
bazie { 1,		x,r^2tx^3}	uzu

= (0,7,21,-14).

liniowo niezależnego o dwa wiersze (0,0,1.0], [0.0,0,1]. Kolejne trzy wektory bazy orto-

q₂ =

<h =

=

yznaczamy z zależności:
i a	x^2 r^3
0 -1	1 0
0 t	1 0
a C	0 1
1	x x^2	r^3
0	-1 1	3
-1	0 0	3
0	0 0
1	x z^2	x^3
0	-1 1	0
-1	0 0	0
0	-1 -1	0

= (-l) l+0 x+0 r² + 0 x³ = -1,

0 • 1 + (-1) z + (-1) • i² + 0 x³ = -z - i²,

= 01 + 0x + 0x² + (-2) • z³ = —2z^:

Zadania

O Zadanie 13.1

Sprawdzić, ze podane zbiory wektorów są bazami ortogonalnymi lub ortonor-malnyiri; w odpowiednich przestrzeniach euklidcsowych i wyznaczyć współrzędne wskazanych wektorów w tych bazach:

^a)    *^{2 =} (\/^-³V^/T) '^{3 = (5}’^6)6r3;

b) 5, = (1,3, -2), «?₂ = (-1, L, 1), i>3 = (5,1,4), u = (1,0,1) e E³

c) 5, = (1,1,1,1), r₂ = (3, -1,-1,-!),», = (0,2, -1,-1), Ć. = (0,0,1, -1), u = (l,2,-3,2)e£⁴;

e) = l, p₂ = 2 — z. p₃ = 6 — 3jc - z², q = z² *f z + 3 w przestrzeni R2\x] z iloczynem skalarnym wielomianów q. = ar² + bz + c, q₂ =    + ej

określonym wzorem

(tfi ?s) = ^aai + (3« ~ (3aj - bj) + (26 + c)(2ł>i + c 1).

Trzynasty tydzień - zadania    ;* •    *31

O Zadanie 13.2

Uzasadnić ortonormalność podanych zbiorów funkcji w odpowiednich przestrzeniach euklidcsowych

1 cosx sin z cos2x sin2z    _ ,r_n « _n    ,

_aj _    -_>—_7=rj—— _t——,    w przestrzeni Ci]U, 2n\) z iloczynem ska-

larnyrn zdefiniowanym wzorem

2 w

(f,g) = J f(x)9(*)dx]

j dⁿ (z² - i]ⁿ °

b*) po = l,p_n = -----—, gdzie n 6 A', w przestrzeni R[x] z iloczynem

2”n! dtⁿ

skalarnym określonym wzorem

i

(?.?) = j *)«)*.

-i

O Zadanie 13.3

Zcrtogonalizować metodą Grama-Schrnidta podane wektory w odpowiednch przestrzeniach euklidesowych:

a)    (2,1,3). (1,6,2) w przestrzeni E³;

b)    (1,0,0) (0,1,0),(0,0, 1) w przestn (xj, £5 13). y = (3/1. J/2.2/3) zdefiniowanym wzorem

2-10'		yi
-1 1 0		V2
0 0 2 r<. ^J		. y3.

(5,y) = [*1 x₂ x₃]

^v/ ¹ \ — ,

d)    (0,1,1,0).(-2.0,2,0),(3 1.1,1) w przestrzeni E*,

e)    1,x — l,|x|,sinx w przestrzeni C([—1,1]) z iloczynem skalarnym określonym

wzorem

1

(/. 9) = j fl.x)g{z)dx.

O Zadanie 13.4

Znaleźć bazy ortogonalne danych przestrzeni euklidesowych zawierające wskazane wektory:

a)    (1,-1,2) w przestrzeni E³;

b)    (1, 1, 1, I) w przestrzeni E*\

c)    (1,0,1,1), (0, l, 1, — i) w przestrzeni E⁴;

d)    (1.0,3, -2), (-1,0,1. 1), (5,0, 1,4) w przestrzeni E^A\

e)    (3,2, 3,5) w przestrzeni E = {(x, y, z,t) 6 E^Ą : x + y = y-f-x = t};