23977 img028 (42)

32

wierszy realizuje się tak, jak to zostało przedstawione w opisie procedury wyboru elementu podstawowego w metodzie eliminacji Gaussa.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym wykonalności działań algorytmu Crouta z częściowym lub pełnym wyborem elementu podstawowego jest nieosobliwość dekompo-nowanej macierzy A

Układy równań liniowych o współczynnikach zespolonych

W zastosowaniach, w tym między innymi w elektrotechnice, występuje zagadnienie numerycznego wyznaczenia rozwiązania układu równań liniowych o współczynnikach zespolonych i o wektorze wyrazów wolnych, którego współrzędnymi są liczby zespolone. W niektórych językach programowania istnieje możliwość deklarowania zmiennych zespolonych i wykonywania działań bezpośrednio na liczbach zespolonych. Taka możliwość istnieje na przykład w języku programowania FORTRAN. W tym przypadku wszystkie działania opisane zarówno w algorytmie eliminacji Gaussa, jak również w algorytmie dekompozycji LU można wykonywać na liczbach zespolonych, otrzymując rozwiązanie bezpośrednio w postaci wektora o współrzędnych zespolonych. W ogólnym przypadku jednak, jeżeli nie istnieje możliwość wykorzystania procedury realizującej działania na liczbach zespolonych, to dany układ równań liniowych o współczynnikach zespolonych i o wektorze wyrazów wolnych, którego współrzędnymi są liczby zespolone, należy przekształcić w odpowiedni układ równań o dwukrotnie większej liczbie równań i zmiennych, w którym współczynniki i składowe wektora wyrazów wolnych są liczbami rzeczywistymi.

Niech dany będzie układ n równań liniowych o współczynnikach zespolonych i zespolonym wektorze wyrazów wolnych dany następującym zapisem macierzowo-wektorowym

Cz = d    (2.51)

def -

gdzie: C = D + j H , j = V-1 , Z> = re C, H = im C , d = e + j■ f , e = red , f = im d , z = x + j ■ w, x = re z, w = im z .

Układ równań (2.51) przekształcany jest do postaci układu 2n równań o współczynnikach rzeczywistych i o wektorze niewiadomych

x

eR²".

w

Zapisuje się

(2.52;

(D + j ■ H)-(x + j ■ w) = (d ■ x - H ■ rv)+ j ■ (H ■ x + D ■ w)= e + j ■ f .

Porównując części rzeczywiste i urojone wyrażeń po obu stronach równania, w drugie części zapisu (2.52) otrzymuje się równoważny danemu układ 2n równań z 2n niewiado mymi, będącymi składowymi wektorów x i w

(2.53

D ■ x - H ■ w = e H x + D w = f